Упр.191 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 191 (МГУ, биол. ф-т).

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{4}{|x+2|}\ge 3-x.$$

По определению модуля получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x+2}\ge 3-x,\\ x+2\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac{4}{x+2}\ge 3-x,\\ x+2<0 \end{cases} $$

Преобразуем каждую систему:

$$ \begin{cases} \frac{4-(3-x)(x+2)}{x+2}\ge 0,\\ x+2\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{-4-(3-x)(x+2)}{x+2}\ge 0,\\ x+2<0 \end{cases} $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{x+2}\ge 0,\\ x>-2 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{x^2-x-10}{x+2}\ge 0,\\ x<-2 \end{cases} $$

1) $$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$ поэтому при $$x>-2$$ получаем

$$x\in[-1;+\infty).$$

С учётом условия $$x>-2$$:

$$x\in[-1;+\infty).$$

2) $$x^2-x-10=0,$$

$$D=1+40=41,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{41}}{2}.$$

При $$x<-2$$ подходит промежуток

$$x\in\left[\frac{1-\sqrt{41}}{2};-2\right).$$

Итак,

$$x\in\left[\frac{1-\sqrt{41}}{2};-2\right)\cup[-1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{3}{|x-1|}\ge 2x+5.$$

По определению модуля получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} \frac{3}{x-1}\ge 2x+5,\\ x-1\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac{3}{x-1}\ge 2x+5,\\ x-1<0 \end{cases} $$

Преобразуем:

$$ \begin{cases} \frac{3-(2x+5)(x-1)}{x-1}\ge 0,\\ x\ge 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{-3-(2x+5)(x-1)}{x-1}\ge 0,\\ x<1 \end{cases} $$

После раскрытия скобок получаем:

$$ \begin{cases} \frac{-2x^2-3x+8}{x-1}\ge 0,\\ x>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{-2x^2-3x+2}{x-1}\ge 0,\\ x<1 \end{cases} $$

1) Для первой системы числитель равен нулю при

$$2x^2+3x-8=0,\qquad D=9+64=73,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{4}.$$

С учётом условия $$x>1$$ получаем

$$x\in\left(1;\frac{-3+\sqrt{73}}{4}\right].$$

2) Для второй системы

$$-2x^2-3x+2\ge 0 \iff 2x^2+3x-2\le 0,$$

$$2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2).$$

Тогда при $$x<1$$ имеем

$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac12;1\right).$$

Объединяя, получаем

$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac12;1\right)\cup\left(1;\frac{-3+\sqrt{73}}{4}\right].$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{1-\sqrt{41}}{2};-2\right)\cup[-1;+\infty).$$

б) $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac12;1\right)\cup\left(1;\frac{-3+\sqrt{73}}{4}\right].$$