Упр.190 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

190 а) 2х > |х|+1; б) х2-6 > =|х|.

а) Рассмотрим неравенство $$2x>|x|+1.$$

По определению модуля получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} 2x>x+1,\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x>-x+1,\\ x<0 \end{cases} $$

Решим каждую систему:

$$ \begin{cases} x>1,\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x>1,\\ x<0 \end{cases} $$

Во второй системе получаем $$x>\frac13$$ и одновременно $$x<0,$$ что невозможно. Значит, остаётся

$$x>1.$$

Следовательно, $$x\in(1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$x^2-6\ge |x|.$$

По определению модуля получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} x^2-6\ge x,\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-6\ge -x,\\ x<0 \end{cases} $$

Преобразуем:

$$ \begin{cases} x^2-x-6\ge 0,\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+x-6\ge 0,\\ x<0 \end{cases} $$

Разложим на множители:

$$ \begin{cases} (x-3)(x+2)\ge 0,\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x+3)(x-2)\ge 0,\\ x<0 \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty),\\ x\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x\in(-\infty;-3]\cup[2;+\infty),\\ x<0 \end{cases} $$

С учётом условий получаем:

$$ x\in[3;+\infty) \qquad \text{и} \qquad x\in(-\infty;-3]. $$

Значит,

$$x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty).$$
б) $$x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$