Упр.19 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

равны одному и тому же числу. Найдите это число.

а) Обозначим искомое значение через $$t$$.

Тогда

$$ t=\log_{x^5y^2z}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2y}}{z}\right) =\frac{\frac23\lg x+\frac13\lg y-\lg z}{5\lg x+2\lg y+\lg z}, $$

$$ t=\log_{x^2y^5z}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right) =\frac{\frac12\lg x+\frac12\lg y-\lg z}{2\lg x+5\lg y+\lg z}. $$

Приравняем эти выражения:

$$ \frac{\frac23\lg x+\frac13\lg y-\lg z}{5\lg x+2\lg y+\lg z} = \frac{\frac12\lg x+\frac12\lg y-\lg z}{2\lg x+5\lg y+\lg z}. $$

Пусть

$$ A=\lg x,\quad B=\lg y,\quad C=\lg z. $$

Тогда

$$ \frac{\frac23A+\frac13B-C}{5A+2B+C} = \frac{\frac12A+\frac12B-C}{2A+5B+C}. $$

После преобразований получаем

$$ t=\frac{\frac16(A-B)}{3(A-B)}=\frac1{18}. $$

б) Аналогично обозначим искомое значение через $$t$$.

$$ t=\log_{\frac{y^3z^3}{x}}\left(x^3\sqrt{\frac{y^4}{z}}\right) =\frac{\lg x+\frac43\lg y-\frac13\lg z}{3\lg y+2\lg z-\lg x}, $$

$$ t=\log_{\frac{y^2z^3}{x}}\left(x\sqrt{yz}\right) =\frac{\lg x+\frac12\lg y+\frac12\lg z}{2\lg y+3\lg z-\lg x}. $$

Приравниваем:

$$ \frac{\lg x+\frac43\lg y-\frac13\lg z}{3\lg y+2\lg z-\lg x} = \frac{\lg x+\frac12\lg y+\frac12\lg z}{2\lg y+3\lg z-\lg x}. $$

Положим

$$ A=\lg x,\quad B=\lg y,\quad C=\lg z. $$

Тогда после упрощения

$$ t=\frac{\frac56(B-C)}{B-C}=\frac56. $$

Ответ

а) $$\frac1{18}$$; б) $$\frac56$$.