Упр.189 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (6cosx- sinx + 4) < sinx + cosx, x принадлежит [0; 2пи].

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{6-10\cos x-\sin x}<\sin x-\cos x,\qquad x\in[-\pi;\pi].$$

Чтобы корень был определён и правая часть была положительной, получаем систему:

$$ \begin{cases} \sin x-\cos x>0,\\ 6-10\cos x-\sin x\ge 0,\\ 6-10\cos x-\sin x<(\sin x-\cos x)^2. \end{cases} $$

Раскроем квадрат:

$$ 6-10\cos x-\sin x<\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1-2\sin x\cos x. $$

Тогда

$$ 5-10\cos x-\sin x+2\sin x\cos x<0. $$

Сгруппируем:

$$ (5-\sin x)-2\cos x(5-\sin x)<0, $$

$$ (5-\sin x)(1-2\cos x)<0. $$

Так как $$5-\sin x>0$$ при всех $$x$$, то

$$1-2\cos x<0,\qquad \cos x>\frac12.$$

Совместно с условием $$\sin x-\cos x>0$$ получаем

$$\tan\frac{x}{2}=t,\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

После подстановки система сводится к

$$ \begin{cases} t^2+2t-1\ge 0,\\ 8t^2-t-2\ge 0,\\ 3t^2<1. \end{cases} $$

Отсюда

$$ t\in(-\infty;-1-\sqrt2]\cup[-1+\sqrt2;+\infty), $$

$$ t\in(-\infty;\frac{1-\sqrt{65}}{16}]\cup[\frac{1+\sqrt{65}}{16};+\infty), $$

$$ t\in\left(-\frac1{\sqrt3};\frac1{\sqrt3}\right). $$

Пересечение даёт

$$ \frac{1+\sqrt{65}}{16}\le t<\frac1{\sqrt3}. $$

Так как $$x\in[-\pi;\pi]$$, то

$$ x\in\left[2\arctan\frac{1+\sqrt{65}}{16};\frac{\pi}{3}\right). $$

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{6\cos x-\sin x+4}<\sin x+\cos x,\qquad x\in[0;2\pi].$$

Аналогично получаем систему:

$$ \begin{cases} \sin x+\cos x>0,\\ 6\cos x-\sin x+4\ge 0,\\ 6\cos x-\sin x+4<(\sin x+\cos x)^2. \end{cases} $$

После преобразований:

$$ 6\cos x-\sin x+4<1+2\sin x\cos x, $$

$$ (1+2\cos x)(3-\sin x)<0. $$

Так как $$3-\sin x>0$$ при всех $$x$$, то

$$1+2\cos x<0,\qquad \cos x<-\frac12.$$

Переходим к замене $$t=\tan\frac{x}{2}$$:

$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. $$

Тогда система равносильна

$$ \begin{cases} t^2-2t-1\le 0,\\ t^2+t-5\le 0,\\ t^2>3. \end{cases} $$

Отсюда

$$ t\in[1-\sqrt2;1+\sqrt2], $$

$$ t\in\left[\frac{-1-\sqrt{21}}{2};\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right], $$

$$ t\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty). $$

Пересечение даёт

$$ \frac{-1-\sqrt{21}}{2}\le t<-\sqrt3. $$

Так как $$x\in[0;2\pi]$$, получаем

$$ x\in\left[2\arctan\frac{-1-\sqrt{21}}{2};\frac{2\pi}{3}\right). $$

Ответ

а) $$x\in\left[2\arctan\frac{1+\sqrt{65}}{16};\frac{\pi}{3}\right)$$;

б) $$x\in\left[2\arctan\frac{-1-\sqrt{21}}{2};\frac{2\pi}{3}\right)$$.