Упр.188 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) 16sin2x + ctg2x < = 7; б) 16sin2x + 9ctg2x < = 15.

а) Рассмотрим неравенство

$$16\sin^2 x+\ctg^2 x\le 7.$$

Используем формулу $$\ctg^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$$:

$$16\sin^2 x+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\le 7,$$

при этом $$\sin x\ne 0.$$

Умножим неравенство на $$\sin^2 x>0$$:

$$16\sin^4 x+\cos^2 x\le 7\sin^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$16\sin^4 x-7\sin^2 x+\cos^2 x\le 0$$

$$16\sin^4 x-8\sin^2 x+1\le 0$$

$$\left(4\sin^2 x-1\right)^2\le 0.$$

Квадрат неотрицателен, значит возможно только равенство:

$$4\sin^2 x-1=0,$$

$$\sin^2 x=\frac14,$$

$$\sin x=\pm \frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$16\sin^2 x+9\ctg^2 x\le 15.$$

Подставим $$\ctg^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$$:

$$16\sin^2 x+\frac{9\cos^2 x}{\sin^2 x}\le 15,$$

при $$\sin x\ne 0.$$

Умножим на $$\sin^2 x>0$$:

$$16\sin^4 x+9\cos^2 x\le 15\sin^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону и заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$16\sin^4 x-15\sin^2 x+9\cos^2 x\le 0$$

$$16\sin^4 x-24\sin^2 x+9\le 0$$

$$\left(4\sin^2 x-3\right)^2\le 0.$$

Следовательно,

$$4\sin^2 x-3=0,$$

$$\sin^2 x=\frac34,$$

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{5\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ \frac{2\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$