Упр.186 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 186 а) 5sinx — sin2x > 0; б) 5cosx + sin2x < 0.

а) Преобразуем неравенство:

$$5\sin x-\sin 2x>0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$5\sin x-2\sin x\cos x>0$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x(5-2\cos x)>0$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

$$5-2\cos x\ge 3>0.$$

Значит, знак произведения определяется только множителем $$\sin x$$, и нужно решить:

$$\sin x>0.$$

Отсюда

$$x\in(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем неравенство:

$$5\cos x+\sin 2x<0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$5\cos x+2\sin x\cos x<0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x(5+2\sin x)<0$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

$$5+2\sin x\ge 3>0.$$

Следовательно, знак произведения определяется только множителем $$\cos x$$, и нужно решить:

$$\cos x<0.$$

Отсюда

$$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$