Упр.185 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

185 а) tg3x > 0;
б) tg(x+пи/4) < 1; в) tg(x-пи/6) > =корень 3/3;
г) ctg2x < =0; д) ctg(2x-4пи/3) > корень 3;
е) сtg(x-пи/4) > =-1.

1. а) $$\tg 3x>0$$

   Тангенс положителен при

   $$3x\in(\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x\in\left(\frac{\pi k}{3};\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<1$$

   Так как $$1=\tg\frac{\pi}{4},$$ то

   $$x+\frac{\pi}{4}\in(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\tg\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\ge \frac{\sqrt3}{3}$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ получаем

   $$x-\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\ctg 2x\le 0$$

   Котангенс не положителен на промежутке

   $$2x\in\left[\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\,\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

5. д) $$\ctg\left(2x-\frac{4\pi}{3}\right)>\sqrt3$$

   Так как $$\sqrt3=\ctg\frac{\pi}{6},$$ то

   $$2x-\frac{4\pi}{3}\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi k}{2};\,\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

6. е) $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -1$$

   Так как $$-1=\ctg\frac{3\pi}{4},$$ получаем

   $$x-\frac{\pi}{4}\in\left(\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi k}{3};\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\,\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2}\right),\ k\in\mathbb Z$$

д) $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi k}{2};\,\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),\ k\in\mathbb Z$$

е) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$$