Упр.183 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• $$\log_3(x^3+x^2-2x)-2\log_9(x^2-x)<\log_3 5$$

Рассмотрим неравенство

$$\log_3(x^3+x^2-2x)-2\log_9(x^2-x)<\log_3 5.$$

Так как $$\log_9 a=\frac{1}{2}\log_3 a,$$ то

$$2\log_9(x^2-x)=\log_3(x^2-x).$$

Тогда неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} x^3+x^2-2x>0,\\ x^2-x>0,\\ \log_3(x^3+x^2-2x)-\log_3(x^2-x)<\log_3 5. \end{cases}$$

Объединим логарифмы:

$$\begin{cases} x(x^2+x-2)>0,\\ x(x-1)>0,\\ \log_3\dfrac{x^3+x^2-2x}{x^2-x}<\log_3 5. \end{cases}$$

Разложим на множители:

$$x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1), \qquad x^2-x=x(x-1).$$

Тогда

$$\begin{cases} x(x+2)(x-1)>0,\\ x(x-1)>0,\\ \log_3\dfrac{x(x+2)(x-1)}{x(x-1)}<\log_3 5. \end{cases}$$

Из первого неравенства методом интервалов получаем

$$x\in(-2;0)\cup(1;+\infty).$$

Из третьего неравенства, учитывая, что основание логарифма $$3>1,$$ имеем

$$\dfrac{x(x+2)(x-1)}{x(x-1)}<5,$$

то есть

$$x+2<5,$$

при условиях $$x\ne 0,\; x\ne 1.$$

Следовательно,

$$x<3,\qquad x\ne 0,\; x\ne 1.$$

Пересекаем все условия:

$$\bigl((-2;0)\cup(1;+\infty)\bigr)\cap(-\infty;3)\setminus\{0,1\}=(-2;0)\cup(1;3).$$

Ответ

$$x\in(-2;0)\cup(1;3).$$