Упр.182 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 182 (МГУ, почв. ф-т). 1/2*log3(x2) > = 1/3*log3(-x3).

Область определения задаётся условиями существования логарифмов:

$$x^2>0,\qquad -x^3>0.$$

Из второго неравенства получаем:

$$x<0.$$

Так как основания логарифмов одинаковы и больше 1, умножим неравенство на $$6$$:

$$ \frac12\log_3 x^2 \ge \frac13\log_3(-x^3) \iff 3\log_3 x^2 \ge 2\log_3(-x^3). $$

Используем свойство логарифма:

$$ \log_3 (x^2)^3 \ge \log_3 (-x^3)^2. $$

Так как функция $$\log_3 t$$ возрастает, то

$$ x^6 \ge x^6. $$

Это верно при всех $$x$$ из области определения, то есть при $$x<0$$.

Ответ

$$x\in(-\infty;0).$$