Упр.182 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1}{2}\log_3(x^2)\geq\frac{1}{3}\log_3(-x^3)$$

Область определения задаётся условиями существования логарифмов:

$$x^2>0,\qquad -x^3>0.$$

Из второго неравенства получаем:

$$x<0.$$

Так как основания логарифмов одинаковы и больше 1, умножим неравенство на $$6$$:

$$\frac12\log_3 x^2 \ge \frac13\log_3(-x^3) \iff 3\log_3 x^2 \ge 2\log_3(-x^3).$$

Используем свойство логарифма:

$$\log_3 (x^2)^3 \ge \log_3 (-x^3)^2.$$

Так как функция $$\log_3 t$$ возрастает, то

$$x^6 \ge x^6.$$

Это верно при всех $$x$$ из области определения, то есть при $$x<0$$.

Ответ

$$x\in(-\infty;0).$$