Упр.181 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 181 log2(x) + log2(x + 1) < log2(2x + 6).

Рассмотрим неравенство:

$$\log_2 x+\log_2(x+1)<\log_2(2x+6).$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x+1>0,\quad 2x+6>0.$$

Отсюда получаем $$x>0.$$

Сложим логарифмы слева:

$$\log_2\bigl(x(x+1)\bigr)<\log_2(2x+6).$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то неравенство равносильно:

$$x(x+1)<2x+6.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2+x<2x+6$$

$$x^2-x-6<0$$

$$ (x-3)(x+2)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$x\in(-2;3).$$

С учётом ОДЗ $$x>0$$ получаем:

$$x\in(0;3).$$

Ответ

$$x\in(0;3).$$