Упр.180 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- a) $$\log_{\sqrt{2}}\left(5^{x+1}-25x\right)\le 4$$;
б) $$\log_{\sqrt{6}}\left(7^{x+1}-49x\right)\le 2$$;
в) $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}\left(6^{x+1}-36x\right)\ge -2$$;
г) $$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(2^{x+2}-4x\right)\ge -2$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\sqrt{2}}\left(5^{x+1}-25^x\right)\le 4.$$
Так как основание $$\sqrt{2}>1,$$ то
$$\begin{cases} 5^{x+1}-25^x>0,\\ 5^{x+1}-25^x\le (\sqrt{2})^4. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$5^{x+1}-25^x=5\cdot 5^x-5^{2x}.$$
Сделаем замену $$5^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда получаем
$$\begin{cases} 5t-t^2>0,\\ 5t-t^2\le 4. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} t(5-t)>0,\\ t^2-5t+4\ge 0. \end{cases}$$
Отсюда
$$t\in(0;5), \qquad t\in(-\infty;1]\cup[4;+\infty).$$
Пересечение с учетом $$t>0$$:
$$t\in(0;1]\cup[4;5).$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\begin{cases} 0<5^x\le 1,\\ 4\le 5^x<5. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0]\cup[\log_5 4;1).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\sqrt{6}}\left(7^{x+1}-49^x\right)\le 2.$$
Так как $$\sqrt{6}>1,$$ то
$$\begin{cases} 7^{x+1}-49^x>0,\\ 7^{x+1}-49^x\le (\sqrt{6})^2. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$7^{x+1}-49^x=7\cdot 7^x-7^{2x}.$$
Сделаем замену $$7^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда
$$\begin{cases} 7t-t^2>0,\\ 7t-t^2\le 6. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} t(7-t)>0,\\ t^2-7t+6\ge 0. \end{cases}$$
Отсюда
$$t\in(0;7), \qquad t\in(-\infty;1]\cup[6;+\infty).$$
Пересечение:
$$t\in(0;1]\cup[6;7).$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\begin{cases} 0<7^x\le 1,\\ 6\le 7^x<7. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0]\cup[\log_7 6;1).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\log_{1/\sqrt{5}}\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge -2.$$
Так как $$0<\frac1{\sqrt5}<1,$$ при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:
$$\begin{cases} 6^{x+1}-36^x>0,\\ 6^{x+1}-36^x\le \left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$6^{x+1}-36^x=6\cdot 6^x-6^{2x}.$$
Сделаем замену $$6^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда
$$\begin{cases} 6t-t^2>0,\\ 6t-t^2\le 5. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} t(6-t)>0,\\ t^2-6t+5\ge 0. \end{cases}$$
Отсюда
$$t\in(0;6), \qquad t\in(-\infty;1]\cup[5;+\infty).$$
Пересечение:
$$t\in(0;1]\cup[5;6).$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\begin{cases} 0<6^x\le 1,\\ 5\le 6^x<6. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\log_{1/\sqrt{3}}\left(2^{x+2}-4^x\right)\ge -2.$$
Так как $$0<\frac1{\sqrt3}<1,$$ получаем
$$\begin{cases} 2^{x+2}-4^x>0,\\ 2^{x+2}-4^x\le \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{-2}. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$2^{x+2}-4^x=4\cdot 2^x-2^{2x}.$$
Сделаем замену $$2^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда
$$\begin{cases} 4t-t^2>0,\\ 4t-t^2\le 3. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} t(4-t)>0,\\ t^2-4t+3\ge 0. \end{cases}$$
Отсюда
$$t\in(0;4), \qquad t\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$
Пересечение:
$$t\in(0;1]\cup[3;4).$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\begin{cases} 0<2^x\le 1,\\ 3\le 2^x<4. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0]\cup[\log_2 3;2).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0]\cup[\log_5 4;1)$$;
б) $$x\in(-\infty;0]\cup[\log_7 6;1)$$;
в) $$x\in(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1)$$;
г) $$x\in(-\infty;0]\cup[\log_2 3;2)$$.
