Упр.18.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 18.8 Для комплексных чисел z1 = r1eiфи1 и z2 = r2eiфи2 докажите равенство:

Для комплексных чисел $$z_1=r_1e^{i\varphi_1}$$ и $$z_2=r_2e^{i\varphi_2}$$ используем свойства показательной формы.

При умножении получаем:

$$ z_1z_2=r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} =r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}. $$

При делении:

$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}} =\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}. $$

Тем самым требуемые равенства доказаны.

Ответ

$$ z_1z_2=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}. $$