Упр.18.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

18. Представьте в показательной форме комплексное число:
    
    а) $$3-4i$$;
    
    б) $$1+i$$;
    
    в) $$1-i$$;
    
    г) $$1+2i$$;
    
    д) $$5$$;
    
    е) $$-3$$;
    
    ж) $$5i$$;
    
    з) $$-3i$$.

1. $$z=3-4i$$

   Найдём модуль:

   $$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$$

   Тогда

   $$z=5\left(\frac35-\frac45 i\right)=5(\cos\alpha+i\sin\alpha),$$

   где

   $$\cos\alpha=\frac35,\qquad \sin\alpha=-\frac45.$$

   Следовательно,

   $$z=5e^{i\alpha},\qquad \alpha=-\arcsin\frac45.$$

   Значит,

   $$3-4i=5e^{-i\arcsin\frac45}.$$

2. $$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$$

3. $$1-i=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{7\pi i/4}$$

4. $$1+2i=\sqrt5\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right),$$

   где

   $$\cos\alpha=\frac1{\sqrt5},\qquad \sin\alpha=\frac2{\sqrt5}.$$

   Тогда

   $$1+2i=\sqrt5\,e^{i\alpha},\qquad \alpha=\arccos\frac1{\sqrt5}.$$

   Следовательно,

   $$1+2i=\sqrt5\,e^{i\arccos\frac1{\sqrt5}}.$$

5. $$5=5(\cos0+i\sin0)=5e^{0i}$$

6. $$-3=3(\cos\pi+i\sin\pi)=3e^{i\pi}$$

7. $$5i=5\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=5e^{i\pi/2}$$

8. $$-3i=3\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=3e^{3\pi i/2}$$

Ответ

$$3-4i=5e^{-i\arcsin\frac45},\quad 1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4},\quad 1-i=\sqrt2\,e^{7\pi i/4},\quad 1+2i=\sqrt5\,e^{i\arccos\frac1{\sqrt5}},$$

$$5=5e^{0i},\quad -3=3e^{i\pi},\quad 5i=5e^{i\pi/2},\quad -3i=3e^{3\pi i/2}.$$