Упр.18.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) x3 — 3×2 + 4 = 0;
в) x3 — 1 = 0;
г) х3 + 1 = 0;
д) х4 + 2х2 + 3 = 0;
е) х3 + 5х2 + 17х + 13 = 0.
$$x^3-5x^2+8x-4=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^2(x-1)-4(x-1)^2=0$$
$$x^2(x-1)-4(x-1)(x-1)=0$$
$$ (x-1)(x^2-4x+4)=0 $$
$$ (x-1)(x-2)^2=0 $$
Отсюда:
$$x=1,\quad x=2$$
$$x^3-3x^2+4=0$$
Представим так:
$$ (x^3+1)-3(x^2-1)=0 $$
Разложим на множители:
$$ (x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x+1)=0 $$
$$ (x+1)(x^2-4x+4)=0 $$
$$ (x+1)(x-2)^2=0 $$
Отсюда:
$$x=-1,\quad x=2$$
$$x^3-1=0$$
Используем формулу разности кубов:
$$ (x-1)(x^2+x+1)=0 $$
Тогда
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+x+1=0$$
Из первого уравнения:
$$x=1$$
Из второго:
$$D=1-4=-3$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}\,i}{2}$$
$$x^3+1=0$$
Используем формулу суммы кубов:
$$ (x+1)(x^2-x+1)=0 $$
Тогда
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2-x+1=0$$
Из первого уравнения:
$$x=-1$$
Из второго:
$$D=1-4=-3$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{3}\,i}{2}$$
$$x^4+2x^2+3=0$$
Сделаем замену:
$$x^2=t$$
Тогда
$$t^2+2t+3=0$$
$$D=4-12=-8$$
$$t_{1,2}=-1\pm \sqrt{2}\,i$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$x^2=-1-\sqrt{2}\,i \quad \text{или} \quad x^2=-1+\sqrt{2}\,i$$
Следовательно, корни можно записать как
$$x=\pm \sqrt{-1-\sqrt{2}\,i},\quad x=\pm \sqrt{-1+\sqrt{2}\,i}$$
$$x^3+5x^2+17x+13=0$$
Сгруппируем:
$$x^3+x^2+4x^2+4x+13x+13=0$$
$$x^2(x+1)+4x(x+1)+13(x+1)=0$$
$$ (x+1)(x^2+4x+13)=0 $$
Тогда
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2+4x+13=0$$
Из первого уравнения:
$$x=-1$$
Из второго:
$$D=16-52=-36$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i$$
Ответ
а) $$1,\ 2$$;
б) $$-1,\ 2$$;
в) $$1,\ \frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2},\ \frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$$;
г) $$-1,\ \frac{1-\sqrt{3}\,i}{2},\ \frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}$$;
д) $$x=\pm \sqrt{-1-\sqrt{2}\,i},\ \pm \sqrt{-1+\sqrt{2}\,i}$$;
е) $$-1,\ -2-3i,\ -2+3i$$.
