Упр.18 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) ctga = корень 3. Сравните arccos (-корень (-3sina-3/4)) и 19пи/24;
б) tga = корень 3. Сравните arccos (-корень (-3sina-1)) и 19пи/24.

а) Из условия $$\ctg \alpha=\sqrt{3}$$ получаем

$$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$

$$1+3=\frac{1}{\sin^2\alpha}, \qquad \sin^2\alpha=\frac14.$$

Так как $$\ctg\alpha>0,$$ то $$\sin\alpha=-\frac12.$$

Тогда

$$ \arccos\!\left(-\sqrt{-3\sin\alpha-\frac34}\right) =\arccos\!\left(-\sqrt{\frac32-\frac34}\right) =\arccos\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right). $$

Поскольку

$$ \arccos\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\arccos\!\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) =\pi-\frac{\pi}{6} =\frac{5\pi}{6} =\frac{20\pi}{24}, $$

то

$$\arccos\!\left(-\sqrt{-3\sin\alpha-\frac34}\right)>\frac{19\pi}{24}.$$

б) Из условия $$\tg\alpha=\sqrt3$$ имеем

$$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$

$$1+3=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad \cos^2\alpha=\frac14.$$

Так как $$\tg\alpha>0,$$ то $$\cos\alpha=-\frac12.$$

Тогда

$$ \arccos\!\left(-\sqrt{-3\cos\alpha-1}\right) =\arccos\!\left(-\sqrt{\frac32-1}\right) =\arccos\!\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right). $$

Следовательно,

$$ \arccos\!\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) =\pi-\arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) =\pi-\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{4} =\frac{18\pi}{24}, $$

а значит

$$\arccos\!\left(-\sqrt{-3\cos\alpha-1}\right)<\frac{19\pi}{24}.$$

Ответ

а) $$\arccos\!\left(-\sqrt{-3\sin\alpha-\frac34}\right)>\frac{19\pi}{24}$$; б) $$\arccos\!\left(-\sqrt{-3\cos\alpha-1}\right)<\frac{19\pi}{24}$$.