Упр.18.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) 1 + i и 1 — i являются корнями многочлена х2 — 2х + 2;
б) 1/2 + корень 3/2 и 1/2 — корень 3/2 *i являются корнями многочлена x2 — х + 1.

а) Проверим подстановкой, что числа $$1+i$$ и $$1-i$$ являются корнями многочлена $$x^2-2x+2$$.

$$ (1+i)^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2=0 $$

$$ (1-i)^2-2(1-i)+2=1-2i+i^2-2+2i+2=0 $$

Значит, числа $$1+i$$ и $$1-i$$ действительно являются корнями данного многочлена.

б) Проверим подстановкой, что числа $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$ и $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$ являются корнями многочлена $$x^2-x+1$$.

$$ \left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2-\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)+1 = \frac14+\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34 i^2-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i+1=0 $$

$$ \left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2-\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)+1 = \frac14-\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34 i^2-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i+1=0 $$

Следовательно, оба числа являются корнями многочлена $$x^2-x+1$$.

Ответ

а) $$1+i$$ и $$1-i$$ — корни многочлена $$x^2-2x+2$$.
б) $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$ и $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$ — корни многочлена $$x^2-x+1$$.