Упр.18.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Убедитесь в том, что числа: а) $$1+i$$ и $$1-i$$ являются корнями многочлена $$x^2-2x+2$$; б) $$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ и $$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ являются корнями многочлена $$x^2-x+1$$.
а) Проверим подстановкой, что числа $$1+i$$ и $$1-i$$ являются корнями многочлена $$x^2-2x+2$$.
$$(1+i)^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2=0$$
$$(1-i)^2-2(1-i)+2=1-2i+i^2-2+2i+2=0$$
Значит, числа $$1+i$$ и $$1-i$$ действительно являются корнями данного многочлена.
б) Проверим подстановкой, что числа $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$ и $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$ являются корнями многочлена $$x^2-x+1$$.
$$\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2-\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)+1 = \frac14+\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34 i^2-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i+1=0$$
$$\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2-\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)+1 = \frac14-\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34 i^2-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i+1=0$$
Следовательно, оба числа являются корнями многочлена $$x^2-x+1$$.
Ответ
а) $$1+i$$ и $$1-i$$ — корни многочлена $$x^2-2x+2$$.
б) $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$ и $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$ — корни многочлена $$x^2-x+1$$.
