Упр.178 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{0,4}(3,5-5x)>2\log_{0,4}(0,2)-1$$;
б) $$1+2\log_{2}(0,3)>\log_{2}(1,5-3x)$$.

1. $$\log_{0,4}(3,5-5x)>2\log_{0,4}(0,2)-1$$

   Так как $$2\log_{0,4}(0,2)=\log_{0,4}(0,2)^2=\log_{0,4}(0,04),$$ получаем

   $$\log_{0,4}(3,5-5x)>\log_{0,4}(0,04)-1.$$

   Перенесём логарифм в одну сторону:

   $$\log_{0,4}\frac{3,5-5x}{0,04}>-1.$$

   Так как основание $$0,4<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   $$\frac{3,5-5x}{0,04}<0,4^{-1}=2,5.$$

   С учётом области определения $$3,5-5x>0$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{3,5-5x}{0,04}<2,5,\\ 3,5-5x>0. \end{cases}$$

   Решаем:

   $$3,5-5x<0,1 \quad \Rightarrow \quad x>0,68,$$

   $$3,5-5x>0 \quad \Rightarrow \quad x<0,7.$$

   Итак,

   $$x\in(0,68;0,7).$$

2. $$1+2\log_2(0,3)>\log_2(1,5-3x)$$

   Так как $$1=\log_2 2,$$ а $$2\log_2(0,3)=\log_2(0,3)^2=\log_2(0,09),$$ имеем

   $$\log_2 2+\log_2(0,09)>\log_2(1,5-3x).$$

   Тогда

   $$\log_2(0,18)>\log_2(1,5-3x).$$

   Так как основание $$2>1,$$ получаем

   $$0,18>1,5-3x.$$

   С учётом области определения $$1,5-3x>0$$ имеем систему:

   $$\begin{cases} 1,5-3x<0,18,\\ 1,5-3x>0. \end{cases}$$

   Решаем:

   $$x>0,44,$$

   $$x<0,5.$$

   Следовательно,

   $$x\in(0,44;0,5).$$

Ответ

а) $$x\in(0,68;0,7);$$ б) $$x\in(0,44;0,5).$$