Упр.177 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 4 log16(4x + 3) < 3; в) log корень 10/3 (1 - 3х) < 2; г) log корень 6/3 (2х - 1) > 2;
д) log0,5(3 — 2х) > -log0,5(3);
е) log2 (2х — 5) < -log2(3).

1. а) $$3\log_8(3x+2)<2$$

   $$3\log_{2^3}(3x+2)<2$$

   $$\log_2(3x+2)<2$$

   Так как основание логарифма больше 1, получаем систему:

   $$ \begin{cases} 3x+2>0,\\ 3x+2<2^2 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x>-\dfrac{2}{3},\\ x<\dfrac{2}{3} \end{cases} $$

   $$x\in\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$$

2. б) $$4\log_{16}(4x+3)<3$$

   $$4\log_{2^4}(4x+3)<3$$

   $$\log_2(4x+3)<3$$

   Тогда

   $$ \begin{cases} 4x+3>0,\\ 4x+3<2^3 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x>-\dfrac{3}{4},\\ x<\dfrac{5}{4} \end{cases} $$

   $$x\in\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right)$$

3. в) $$\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}(1-3x)<2$$

   Так как $$\dfrac{\sqrt{10}}{3}>1,$$ получаем систему:

   $$ \begin{cases} 1-3x>0,\\ 1-3x<\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x<\dfrac{1}{3},\\ 1-3x<\dfrac{10}{9} \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x<\dfrac{1}{3},\\ x>-\dfrac{1}{27} \end{cases} $$

   $$x\in\left(-\dfrac{1}{27};\dfrac{1}{3}\right)$$

4. г) $$\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}}(2x-1)>2$$

   Так как $$\dfrac{\sqrt{6}}{3}>1,$$ имеем систему:

   $$ \begin{cases} 2x-1>0,\\ 2x-1>\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x>\dfrac{1}{2},\\ 2x-1>\dfrac{2}{3} \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x>\dfrac{1}{2},\\ x>\dfrac{5}{6} \end{cases} $$

   $$x\in\left(\dfrac{5}{6};+\infty\right)$$

5. д) $$\log_{0,5}(3-2x)>-\log_{0,5}3$$

   $$-\log_{0,5}3=\log_{0,5}3^{-1}=\log_{0,5}\dfrac{1}{3}$$

   Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$ \begin{cases} 3-2x>0,\\ 3-2x<\dfrac{1}{3} \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x<\dfrac{3}{2},\\ x>\dfrac{4}{3} \end{cases} $$

   $$x\in\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{3}{2}\right)$$

6. е) $$\log_2(2x-5)<-\log_2 3$$

   $$-\log_2 3=\log_2 3^{-1}=\log_2\dfrac{1}{3}$$

   Тогда

   $$ \begin{cases} 2x-5>0,\\ 2x-5<\dfrac{1}{3} \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x>\dfrac{5}{2},\\ x<\dfrac{8}{3} \end{cases} $$

   $$x\in\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{8}{3}\right)$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$$; б) $$x\in\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right)$$; в) $$x\in\left(-\dfrac{1}{27};\dfrac{1}{3}\right)$$; г) $$x\in\left(\dfrac{5}{6};+\infty\right)$$; д) $$x\in\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{3}{2}\right)$$; е) $$x\in\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{8}{3}\right)$$.