Упр.176 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

176. а) $$\log_{0,5}(3-2x)>-\log_{0,5}(3)$$; б) $$\log_{2}(2x-5)<-\log_{2}(3)$$.

1. а) $$\log_{0,5}(3-2x)>-\log_{0,5}3$$

   Так как $$-\log_{0,5}3=\log_{0,5}3^{-1}=\log_{0,5}\frac13,$$ получаем

   $$\log_{0,5}(3-2x)>\log_{0,5}\frac13.$$

   При основании $$0<0,5<1$$ логарифмическая функция убывает, поэтому

   $$3-2x<\frac13.$$

   С учётом области определения:

   $$3-2x>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 3-2x>0,\\ 3-2x<\frac13 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x<\frac32,\\ x>\frac43 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac43;\frac32\right).$$

2. б) $$\log_2(2x-5)<-\log_2 3$$

   Преобразуем правую часть:

   $$-\log_2 3=\log_2 3^{-1}=\log_2\frac13.$$

   Тогда

   $$\log_2(2x-5)<\log_2\frac13.$$

   Так как основание $$2>1,$$ логарифмическая функция возрастает, значит

   $$2x-5<\frac13.$$

   С учётом области определения:

   $$2x-5>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 2x-5>0,\\ 2x-5<\frac13 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x>\frac52,\\ x<\frac83 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac52;\frac83\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac43;\frac32\right);$$ б) $$x\in\left(\frac52;\frac83\right).$$