Упр.175 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 175 (МГУ, геол. ф-т). корень (х2 — 8х +12) > = х — 5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/175 118

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x^2-8x+12}\ge x-5$$

Так как левая часть неотрицательна, удобно рассмотреть два случая.

1. Если $$x-5\le 0,$$ то есть $$x\le 5,$$ неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых подкоренное выражение определено:

   $$x^2-8x+12\ge 0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x-6\right)\ge 0$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;2]\cup[6;+\infty).$$

   С учётом $$x\le 5$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;2].$$

2. Если $$x-5>0,$$ то есть $$x>5,$$ можно возвести обе части в квадрат:

   $$x^2-8x+12\ge (x-5)^2$$

   $$x^2-8x+12\ge x^2-10x+25$$

   $$2x\ge 13$$

   $$x\ge \frac{13}{2}.$$

   С учётом $$x>5$$ получаем:

   $$x\in\left[\frac{13}{2};+\infty\right).$$

Объединяем найденные промежутки:

$$x\in(-\infty;2]\cup\left[\frac{13}{2};+\infty\right).$$

Ответ

$$(-\infty;2]\cup\left[\frac{13}{2};+\infty\right)$$