Упр.174 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-7x-10}<\sqrt{20-x}-5$$; б) $$\sqrt{x^2-1}+\sqrt{-x^2-x+2}\geq 1-\sqrt{x}$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{-x^2-7x-10}<\sqrt{20-x}-5.$$

Для существования корней нужно, чтобы

$$\begin{cases} x^2+5x\ge 0,\\ -x^2-7x-10\ge 0,\\ 20-x\ge 0. \end{cases}$$

Решим неравенства:

$$x^2+5x=x(x+5)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty),$$

$$-x^2-7x-10\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2+7x+10\le 0 \;\Rightarrow\; (x+5)(x+2)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-5;-2],$$

$$20-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 20.$$

Пересечение всех условий:

$$\left((-\infty;-5]\cup[0;+\infty)\right)\cap[-5;-2]\cap(-\infty;20]=\{-5\}.$$

Проверим значение $$x=-5$$:

$$\sqrt{(-5)^2+5\cdot(-5)}+\sqrt{-(-5)^2-7\cdot(-5)-10}=\sqrt{0}+\sqrt{0}=0,$$

$$\sqrt{20-(-5)}-5=\sqrt{25}-5=0.$$

Получаем равенство, а нужно строгое неравенство, значит решений нет.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2-1}+\sqrt{-x^2-x+2}\ge 1-\sqrt{x}.$$

Область допустимых значений задаётся системой

$$\begin{cases} x^2-1\ge 0,\\ -x^2-x+2\ge 0,\\ x\ge 0. \end{cases}$$

Решим её:

$$x^2-1=(x-1)(x+1)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$

$$-x^2-x+2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2+x-2\le 0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-1)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-2;1],$$

$$x\ge 0.$$

Пересечение:

$$\left((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\right)\cap[-2;1]\cap[0;+\infty)=\{1\}.$$

Проверим $$x=1$$:

$$\sqrt{1^2-1}+\sqrt{-1^2-1+2}=0+0=0,$$

$$1-\sqrt{1}=0.$$

Неравенство выполняется.

Ответ

а) решений нет; б) $$x=1$$.