Упр.173 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 173 (МГУ, псих. ф-т).
Решим неравенство
$$\frac{5x-3}{\sqrt{7x-4}}<1.$$
Перенесём $1$ в левую часть:
$$\frac{5x-3}{\sqrt{7x-4}}-1<0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{5x-3-\sqrt{7x-4}}{\sqrt{7x-4}}<0.$$
Так как $$\sqrt{7x-4}>0,$$ то получаем систему:
$$ \begin{cases} 5x-3-\sqrt{7x-4}<0,\\ 7x-4>0. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} \sqrt{7x-4}>5x-3,\\ x>\frac47. \end{cases} $$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$5x-3\le 0,$$ то при $$x\le \frac35$$ неравенство $$\sqrt{7x-4}>5x-3$$ выполняется автоматически. С учётом $$x>\frac47$$ получаем
$$x\in\left(\frac47;\frac35\right].$$
2) Если $$5x-3>0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$ 7x-4>(5x-3)^2. $$
Отсюда
$$ 7x-4>25x^2-30x+9, $$
$$ 25x^2-37x+13<0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=37^2-4\cdot 25\cdot 13=69, $$
$$ x_{1,2}=\frac{37\pm\sqrt{69}}{50}. $$
Тогда
$$ x\in\left(\frac{37-\sqrt{69}}{50};\frac{37+\sqrt{69}}{50}\right). $$
С учётом условий $$x>\frac35$$ и $$x>\frac47$$ получаем
$$ x\in\left(\frac35;\frac{37+\sqrt{69}}{50}\right). $$
Объединяя оба случая, получаем
$$ x\in\left(\frac47;\frac{37+\sqrt{69}}{50}\right). $$
Решим неравенство
$$\frac{3x-2}{\sqrt{5x-2}}<1.$$
Перенесём $1$ в левую часть:
$$\frac{3x-2}{\sqrt{5x-2}}-1<0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3x-2-\sqrt{5x-2}}{\sqrt{5x-2}}<0.$$
Так как $$\sqrt{5x-2}>0,$$ то получаем систему:
$$ \begin{cases} 3x-2-\sqrt{5x-2}<0,\\ 5x-2>0. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} \sqrt{5x-2}>3x-2,\\ x>\frac25. \end{cases} $$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$3x-2\le 0,$$ то при $$x\le \frac23$$ неравенство $$\sqrt{5x-2}>3x-2$$ выполняется автоматически. С учётом $$x>\frac25$$ получаем
$$x\in\left(\frac25;\frac23\right].$$
2) Если $$3x-2>0,$$ то возводим обе части в квадрат:
$$ 5x-2>(3x-2)^2. $$
Отсюда
$$ 5x-2>9x^2-12x+4, $$
$$ 9x^2-17x+6<0. $$
Найдём корни:
$$ D=17^2-4\cdot 9\cdot 6=73, $$
$$ x_{1,2}=\frac{17\pm\sqrt{73}}{18}. $$
Тогда
$$ x\in\left(\frac{17-\sqrt{73}}{18};\frac{17+\sqrt{73}}{18}\right). $$
С учётом условий $$x>\frac23$$ и $$x>\frac25$$ получаем
$$ x\in\left(\frac23;\frac{17+\sqrt{73}}{18}\right). $$
Объединяя оба случая, получаем
$$ x\in\left(\frac25;\frac{17+\sqrt{73}}{18}\right). $$
Ответ
а) $$x\in\left(\frac47;\frac{37+\sqrt{69}}{50}\right).$$
б) $$x\in\left(\frac25;\frac{17+\sqrt{73}}{18}\right).$$
