Упр.172 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б)

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3-x}>x-2.$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая область допустимых значений:

$$ \begin{cases} 3-x>(x-2)^2,\\ 3-x\ge 0,\\ x-2<0. \end{cases} $$

Из условий получаем $$x<2$$ и $$x\le 3$$, значит достаточно $$x<2$$.

Решим квадратное неравенство:

$$ 3-x>x^2-4x+4 $$

$$ -x^2+3x-1>0 $$

Найдём корни уравнения $$-x^2+3x-1=0$$:

$$ D=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=5, $$

$$ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. $$

Так как ветви параболы направлены вниз, то

$$ -x^2+3x-1>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2};\frac{3+\sqrt5}{2}\right). $$

С учётом условия $$x<2$$ получаем:

$$ x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2};2\right). $$

б) Рассмотрим неравенство

$$ \frac{1}{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}}+\frac{1}{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}>2. $$

Преобразуем знаменатели:

$$ x+2\sqrt{x-1}=(1+\sqrt{x-1})^2,\qquad x-2\sqrt{x-1}=(1-\sqrt{x-1})^2. $$

Тогда

$$ \frac{1}{1+\sqrt{x-1}}+\frac{1}{|1-\sqrt{x-1}|}>2. $$

Сделаем замену:

$$ \sqrt{x-1}=t,\qquad t\ge 0. $$

Получаем

$$ \frac{1}{1+t}+\frac{1}{|1-t|}>2. $$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$0\le t<1$$, то $$|1-t|=1-t$$, и

$$ \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}>2. $$

$$ \frac{(1-t)+(1+t)}{(1+t)(1-t)}>2 $$

$$ \frac{2}{1-t^2}>2 $$

$$ \frac{t^2}{1-t^2}>0. $$

При $$0\le t<1$$ знаменатель положителен, значит неравенство выполняется при $$t>0$$. Следовательно,

$$ t\in(0;1). $$

2) Если $$t>1$$, то $$|1-t|=t-1$$, и

$$ \frac{1}{1+t}+\frac{1}{t-1}>2. $$

$$ \frac{(t-1)+(1+t)}{(1+t)(t-1)}>2 $$

$$ \frac{2t}{t^2-1}>2 $$

$$ \frac{t^2-t-1}{t^2-1}<0. $$

Корни числителя:

$$ t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}. $$

С учётом условия $$t>1$$ получаем

$$ t\in\left(\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right). $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ \sqrt{x-1}\in(0;1)\ \Longleftrightarrow\ 1<x<2, $$

$$ \sqrt{x-1}>\frac{1+\sqrt5}{2}\ \Longleftrightarrow\ x>1+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{5+\sqrt5}{2}. $$

Итак,

$$ x\in(1;2)\cup\left(\frac{5+\sqrt5}{2};+\infty\right). $$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2};2\right);$$ б) $$x\in(1;2)\cup\left(\frac{5+\sqrt5}{2};+\infty\right).$$