Упр.171 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{x^2-9}<14-2x$$; б) $$\sqrt{x^2-6x}<8+2x$$; в) $$2-3x<\sqrt{4+9x-9x^2}$$; г) $$4-5x<\sqrt{16+30x-25x^2}$$.

1. $$\sqrt{x^2-9}<14-2x$$

   Чтобы можно было возвести в квадрат, нужно:
   $$x^2-9\ge 0,\qquad 14-2x>0.$$

   Тогда
   $$x^2-9<(14-2x)^2$$
   $$x^2-9<196-56x+4x^2$$
   $$3x^2-56x+205>0.$$

   Найдём корни:
   $$D=56^2-4\cdot 3\cdot 205=256,$$
   $$x_{1,2}=\frac{56\pm 16}{6}.$$
   Отсюда
   $$x_1=\frac{20}{3},\qquad x_2=12.$$
   Значит,
   $$3x^2-56x+205>0 \iff x\in(-\infty;\tfrac{20}{3})\cup(12;+\infty).$$

   С учётом условий $$x^2-9\ge 0$$ и $$14-2x>0$$ получаем
   $$x\in(-\infty;-3]\cup[3;\tfrac{20}{3}).$$

2. $$\sqrt{x^2-6x}<8+2x$$

   Необходимо:
   $$x^2-6x\ge 0,\qquad 8+2x>0.$$

   Возводим в квадрат:
   $$x^2-6x<(8+2x)^2$$
   $$x^2-6x<64+32x+4x^2$$
   $$3x^2+38x+64>0.$$

   Корни уравнения
   $$3x^2+38x+64=0$$
   равны
   $$x_1=-\frac{32}{3},\qquad x_2=-2.$$
   Тогда
   $$3x^2+38x+64>0 \iff x\in(-\infty;-\tfrac{32}{3})\cup(-2;+\infty).$$

   Пересекаем с условиями $$x^2-6x\ge 0$$ и $$8+2x>0$$:
   $$x\in(-\infty;0]\cup[6;+\infty),\qquad x>-4.$$
   Получаем
   $$x\in[-2;0]\cup[6;+\infty).$$

3. $$2-3x<\sqrt{4+9x-9x^2}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то при $$2-3x<0$$ неравенство выполняется автоматически, если подкоренное выражение определено.
   Поэтому рассматриваем систему:
   $$\begin{cases} 4+9x-9x^2\ge 0,\\ 2-3x<0. \end{cases}$$

   Из второго неравенства:
   $$x>\frac{2}{3}.$$
   Из первого:
   $$4+9x-9x^2\ge 0 \iff 9x^2-9x-4\le 0.$$
   Корни:
   $$x=\frac{9\pm 15}{18},\qquad x_1=-\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{4}{3}.$$
   Значит,
   $$x\in\left[-\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right].$$

   Пересечение с $$x>\frac{2}{3}$$ даёт
   $$x\in\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right].$$

4. $$4-5x<\sqrt{16+30x-25x^2}$$

   Если $$4-5x<0$$, то неравенство выполняется при условии существования корня:
   $$16+30x-25x^2\ge 0.$$
   Тогда
   $$25x^2-30x-16\le 0.$$
   Корни:
   $$x=\frac{30\pm 50}{50},\qquad x_1=-\frac{2}{5},\quad x_2=\frac{8}{5}.$$
   Значит,
   $$x\in\left[-\frac{2}{5};\frac{8}{5}\right].$$

   Условие $$4-5x<0$$ даёт
   $$x>\frac{4}{5}.$$
   Пересечение:
   $$x\in\left(\frac{4}{5};\frac{8}{5}\right].$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-3]\cup[3;\tfrac{20}{3})$$
б) $$x\in[-2;0]\cup[6;+\infty)$$
в) $$x\in\left(\tfrac{2}{3};\tfrac{4}{3}\right]$$
г) $$x\in\left(\tfrac{4}{5};\tfrac{8}{5}\right]$$