Упр.171 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (х2 — 6х) < 8 + 2х; в) 2 - 3х < корень (4 + 9х - 9х2); г) 4 - 5х < корень (16 + 30х - 25х2).

1. $$\sqrt{x^2-9}<14-2x$$

   Чтобы можно было возвести в квадрат, нужно:
   $$x^2-9\ge 0,\qquad 14-2x>0.$$

   Тогда
   $$ x^2-9<(14-2x)^2 $$
   $$ x^2-9<196-56x+4x^2 $$
   $$ 3x^2-56x+205>0. $$

   Найдём корни:
   $$ D=56^2-4\cdot 3\cdot 205=256, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{56\pm 16}{6}. $$
   Отсюда
   $$ x_1=\frac{20}{3},\qquad x_2=12. $$
   Значит,
   $$ 3x^2-56x+205>0 \iff x\in(-\infty;\tfrac{20}{3})\cup(12;+\infty). $$

   С учётом условий $$x^2-9\ge 0$$ и $$14-2x>0$$ получаем
   $$ x\in(-\infty;-3]\cup[3;\tfrac{20}{3}). $$

2. $$\sqrt{x^2-6x}<8+2x$$

   Необходимо:
   $$x^2-6x\ge 0,\qquad 8+2x>0.$$

   Возводим в квадрат:
   $$ x^2-6x<(8+2x)^2 $$
   $$ x^2-6x<64+32x+4x^2 $$
   $$ 3x^2+38x+64>0. $$

   Корни уравнения
   $$ 3x^2+38x+64=0 $$
   равны
   $$ x_1=-\frac{32}{3},\qquad x_2=-2. $$
   Тогда
   $$ 3x^2+38x+64>0 \iff x\in(-\infty;-\tfrac{32}{3})\cup(-2;+\infty). $$

   Пересекаем с условиями $$x^2-6x\ge 0$$ и $$8+2x>0$$:
   $$ x\in(-\infty;0]\cup[6;+\infty),\qquad x>-4. $$
   Получаем
   $$ x\in[-2;0]\cup[6;+\infty). $$

3. $$2-3x<\sqrt{4+9x-9x^2}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то при $$2-3x<0$$ неравенство выполняется автоматически, если подкоренное выражение определено.
   Поэтому рассматриваем систему:
   $$ \begin{cases} 4+9x-9x^2\ge 0,\\ 2-3x<0. \end{cases} $$

   Из второго неравенства:
   $$ x>\frac{2}{3}. $$
   Из первого:
   $$ 4+9x-9x^2\ge 0 \iff 9x^2-9x-4\le 0. $$
   Корни:
   $$ x=\frac{9\pm 15}{18},\qquad x_1=-\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{4}{3}. $$
   Значит,
   $$ x\in\left[-\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right]. $$

   Пересечение с $$x>\frac{2}{3}$$ даёт
   $$ x\in\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right]. $$

4. $$4-5x<\sqrt{16+30x-25x^2}$$

   Если $$4-5x<0$$, то неравенство выполняется при условии существования корня:
   $$ 16+30x-25x^2\ge 0. $$
   Тогда
   $$ 25x^2-30x-16\le 0. $$
   Корни:
   $$ x=\frac{30\pm 50}{50},\qquad x_1=-\frac{2}{5},\quad x_2=\frac{8}{5}. $$
   Значит,
   $$ x\in\left[-\frac{2}{5};\frac{8}{5}\right]. $$

   Условие $$4-5x<0$$ даёт
   $$ x>\frac{4}{5}. $$
   Пересечение:
   $$ x\in\left(\frac{4}{5};\frac{8}{5}\right]. $$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-3]\cup[3;\tfrac{20}{3})$$
б) $$x\in[-2;0]\cup[6;+\infty)$$
в) $$x\in\left(\tfrac{2}{3};\tfrac{4}{3}\right]$$
г) $$x\in\left(\tfrac{4}{5};\tfrac{8}{5}\right]$$