Упр.17.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 17.8 Докажите теорему 16 о частном комплексных чисел.

Подробный ответ

Пусть

$$z_1=r_1(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1), \qquad z_2=r_2(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2).$$

Тогда

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)}{r_2(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)}.$$

Умножим числитель и знаменатель дроби на число $$\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2$$:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)(\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2)} {r_2(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)(\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2)}. $$

Так как

$$ (\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)(\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2) = \cos^2 \varphi_2+\sin^2 \varphi_2=1, $$

то

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)(\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2). $$

Раскроем скобки:

$$ (\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)(\cos \varphi_2-i\sin \varphi_2) = \cos \varphi_1\cos \varphi_2+\sin \varphi_1\sin \varphi_2 +i(\sin \varphi_1\cos \varphi_2-\cos \varphi_1\sin \varphi_2). $$

По формулам приведения получаем:

$$ \cos \varphi_1\cos \varphi_2+\sin \varphi_1\sin \varphi_2=\cos(\varphi_1-\varphi_2), $$

$$ \sin \varphi_1\cos \varphi_2-\cos \varphi_1\sin \varphi_2=\sin(\varphi_1-\varphi_2). $$

Следовательно,

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\bigr). $$

Тем самым теорема о частном комплексных чисел доказана.