Упр.17.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Для числа $$z=3+4i$$ находим модуль:

$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Так как $$\cos \varphi=\frac{3}{5}, \quad \sin \varphi=\frac{4}{5},$$ то

$$z=5\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right),$$

$$\arg z=\arccos 0{,}6.$$

б) Для числа $$z=3-4i$$ имеем:

$$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5.$$

Здесь

$$\cos \varphi=\frac{3}{5}, \quad \sin \varphi=-\frac{4}{5},$$

поэтому

$$z=5\left(\cos(2\pi-\arccos 0{,}6)+i\sin(2\pi-\arccos 0{,}6)\right),$$

$$\arg z=2\pi-\arccos 0{,}6.$$

в) Для числа $$z=4-3i$$:

$$|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5.$$

Тогда

$$\cos \varphi=\frac{4}{5}, \quad \sin \varphi=-\frac{3}{5},$$

и

$$z=5\left(\cos\left(2\pi-\arccos \frac{4}{5}\right)+i\sin\left(2\pi-\arccos \frac{4}{5}\right)\right),$$

$$\arg z=2\pi-\arccos \frac{4}{5}.$$

г) Для числа $$z=5-4i$$:

$$|z|=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41}.$$

Следовательно,

$$\cos \varphi=\frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \sin \varphi=-\frac{4}{\sqrt{41}},$$

и

$$z=\sqrt{41}\left(\cos\left(2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}}\right)+i\sin\left(2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}}\right)\right),$$

$$\arg z=2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}}.$$

д) Для числа $$z=1+2i$$:

$$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Тогда

$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi=\frac{2}{\sqrt{5}},$$

поэтому

$$z=\sqrt{5}\left(\cos\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)+i\sin\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right),$$

$$\arg z=\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

е) Для числа $$z=-3-2i$$:

$$|z|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}.$$

Здесь

$$\cos \varphi=-\frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \sin \varphi=-\frac{2}{\sqrt{13}},$$

значит

$$z=\sqrt{13}\left(\cos\left(\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}\right)+i\sin\left(\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}\right)\right),$$

$$\arg z=\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}.$$

Ответ

а) $$z=5\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right), \ \arg z=\arccos 0{,}6;$$
б) $$z=5\left(\cos(2\pi-\arccos 0{,}6)+i\sin(2\pi-\arccos 0{,}6)\right), \ \arg z=2\pi-\arccos 0{,}6;$$
в) $$z=5\left(\cos\left(2\pi-\arccos \frac{4}{5}\right)+i\sin\left(2\pi-\arccos \frac{4}{5}\right)\right), \ \arg z=2\pi-\arccos \frac{4}{5};$$
г) $$z=\sqrt{41}\left(\cos\left(2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}}\right)+i\sin\left(2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}}\right)\right), \ \arg z=2\pi-\arccos \frac{5}{\sqrt{41}};$$
д) $$z=\sqrt{5}\left(\cos\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)+i\sin\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right), \ \arg z=\arccos \frac{1}{\sqrt{5}};$$
е) $$z=\sqrt{13}\left(\cos\left(\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}\right)+i\sin\left(\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}\right)\right), \ \arg z=\pi+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}.$$