Упр.17.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Дано $$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.$$ Найдём модуль:

$$|z|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1.$$

Следовательно,

$$z=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}.$$

По формуле Муавра:

$$z^n=\cos \frac{n\pi}{6}+i\sin \frac{n\pi}{6}.$$

Тогда:

$$z^1=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$

$$z^2=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$

$$z^3=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i,$$

$$z^4=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$

$$z^5=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$

$$z^6=\cos \pi+i\sin \pi=-1,$$

$$z^7=\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i.$$

Ответ

$$z^1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\quad z^2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z^3=i,\quad z^4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z^5=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\quad z^6=-1,\quad z^7=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i.$$