Упр.17.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

17.3 а) z=cos(-пи/4) + isin(3пи/4);
б) z=-3(cosпи/4 + isinпи/4);
в) z=sinпи/6 + icosпи/6;
г) z=cosпи/3 — isinпи/3.

1. а) Используем тождество $$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4},$$ а также $$\sin\frac{3\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

   $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно, главный аргумент:

   $$\arg z=\frac{\pi}{4}.$$

2. б) Так как

   $$-3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=3\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right),$$

   то

   $$z=3\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right).$$

   Значит,

   $$\arg z=\frac{5\pi}{4}.$$

3. в) Имеем

   $$z=\sin\frac{\pi}{6}+i\cos\frac{\pi}{6}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Так как

   $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

   то

   $$z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$\arg z=\frac{\pi}{3}.$$

4. г) Получаем

   $$z=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Так как

   $$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2},$$

   то

   $$z=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$\arg z=\frac{5\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4},\ \arg z=\frac{\pi}{4};$$ б) $$z=3\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right),\ \arg z=\frac{5\pi}{4};$$ в) $$z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},\ \arg z=\frac{\pi}{3};$$ г) $$z=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3},\ \arg z=\frac{5\pi}{3}.$$