Упр.17.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) -8 + 8 корень 3* i; б) -2-2 корень 3* i.

а) Представим число $$z=-8+8\sqrt{3}\,i$$ в тригонометрической форме.

Модуль:

$$|z|=\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+192}=16.$$

Аргумент:

$$\cos\varphi=\frac{-8}{16}=-\frac12,\qquad \sin\varphi=\frac{8\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}{2},$$

значит, $$\varphi=\frac{2\pi}{3}.$$

Тогда

$$z=16\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).$$

Четвёртые корни:

$$\sqrt[4]{z}=2\left(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3.$$

Получаем:

$$\alpha_0=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3+i,$$

$$\alpha_1=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=-1+\sqrt3\,i,$$

$$\alpha_2=2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right)=-\sqrt3-i,$$

$$\alpha_3=2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=1-\sqrt3\,i.$$

б) Для числа $$z=-2-2\sqrt3\,i$$ имеем:

$$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4.$$

Так как

$$\cos\varphi=-\frac12,\qquad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2},$$

то $$\varphi=\frac{4\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$z=4\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right).$$

Четвёртые корни:

$$\sqrt[4]{z}=\sqrt2\left(\cos\frac{\frac{4\pi}{3}+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2\pi k}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3.$$

Тогда

$$\beta_0=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,$$

$$\beta_1=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,$$

$$\beta_2=\sqrt2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i,$$

$$\beta_3=\sqrt2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i.$$

Ответ

а) $$\sqrt3+i,\ -1+\sqrt3\,i,\ -\sqrt3-i,\ 1-\sqrt3\,i.$$

б) $$\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,\ -\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\ -\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i,\ \frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i.$$