Упр.17.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) |аk|=1; б) akam = ak + m; в) ak/am = аk-m; г) а^m k = akm.

Пусть $$\alpha_k$$ — корни степени $$n$$ из единицы, где $$n \ge 2$$, $$k=0,1,\dots,n-1$$. Тогда

$$\alpha_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}.$$

1. Докажем, что $$|\alpha_k|=1$$.

   Так как $$\alpha_k$$ лежит на единичной окружности, то

   $$|\alpha_k|=\sqrt{\cos^2 \frac{2\pi k}{n}+\sin^2 \frac{2\pi k}{n}}=1.$$

2. Докажем, что $$\alpha_k\alpha_m=\alpha_{k+m}$$.

   Имеем

   $$ \alpha_k\alpha_m= \left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right) \left(\cos \frac{2\pi m}{n}+i\sin \frac{2\pi m}{n}\right). $$

   По формулам сложения:

   $$ \alpha_k\alpha_m= \cos \left(\frac{2\pi k}{n}+\frac{2\pi m}{n}\right) +i\sin \left(\frac{2\pi k}{n}+\frac{2\pi m}{n}\right) =\cos \frac{2\pi (k+m)}{n}+i\sin \frac{2\pi (k+m)}{n} =\alpha_{k+m}. $$

3. Докажем, что $$\dfrac{\alpha_k}{\alpha_m}=\alpha_{k-m}$$.

   Так как $$|\alpha_m|=1$$, то $$\dfrac{1}{\alpha_m}=\overline{\alpha_m}=\cos \frac{2\pi m}{n}-i\sin \frac{2\pi m}{n}.$$ Тогда

   $$ \frac{\alpha_k}{\alpha_m} =\alpha_k\cdot \frac{1}{\alpha_m} =\left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right) \left(\cos \frac{2\pi m}{n}-i\sin \frac{2\pi m}{n}\right). $$

   Следовательно,

   $$ \frac{\alpha_k}{\alpha_m} =\cos \left(\frac{2\pi k}{n}-\frac{2\pi m}{n}\right) +i\sin \left(\frac{2\pi k}{n}-\frac{2\pi m}{n}\right) =\cos \frac{2\pi (k-m)}{n}+i\sin \frac{2\pi (k-m)}{n} =\alpha_{k-m}. $$

4. Докажем, что $$\alpha_k^m=\alpha_{km}$$.

   По формуле Муавра:

   $$ \alpha_k^m= \left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)^m =\cos \frac{2\pi km}{n}+i\sin \frac{2\pi km}{n} =\alpha_{km}. $$

Ответ

$$|\alpha_k|=1,\qquad \alpha_k\alpha_m=\alpha_{k+m},\qquad \frac{\alpha_k}{\alpha_m}=\alpha_{k-m},\qquad \alpha_k^m=\alpha_{km}.$$