Упр.17.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) 1;
б) -1;
в) 4i;
г) -4i;
д) 1 + i;
е) 1 — i;
ж) 1 + i корень 3;
з) 1 — i корень 3.

Для числа $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$$ его квадратные корни находятся по формуле

$$\sqrt{z}=\sqrt{r}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{2}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{2}\right),\quad k=0,1.$$

1. $$1=\cos 0+i\sin 0$$

   $$\sqrt{1}=\cos \pi k+i\sin \pi k,\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=1,\quad \alpha_1=-1.$$

2. $$-1=\cos \pi+i\sin \pi$$

   $$\sqrt{-1}=\cos \frac{\pi+2\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{2},\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=i,\quad \alpha_1=-i.$$

3. $$4i=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)$$

   $$\sqrt{4i}=2\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{4}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,$$

   $$\alpha_1=2\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i.$$

4. $$-4i=4\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)$$

   $$\sqrt{-4i}=2\left(\cos \frac{3\pi+2\pi k}{4}+i\sin \frac{3\pi+2\pi k}{4}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=2\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,$$

   $$\alpha_1=2\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i.$$

5. $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$

   $$\sqrt{1+i}=2^{1/4}\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{8}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{8}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=2^{1/4}\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right),$$

   $$\alpha_1=2^{1/4}\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right).$$

6. $$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right)$$

   $$\sqrt{1-i}=2^{1/4}\left(\cos \frac{7\pi+2\pi k}{8}+i\sin \frac{7\pi+2\pi k}{8}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=2^{1/4}\left(\cos \frac{7\pi}{8}+i\sin \frac{7\pi}{8}\right),$$

   $$\alpha_1=2^{1/4}\left(\cos \frac{15\pi}{8}+i\sin \frac{15\pi}{8}\right).$$

7. $$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)$$

   $$\sqrt{1+i\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{6}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right),$$

   $$\alpha_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right).$$

8. $$1-i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)$$

   $$\sqrt{1-i\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi+2\pi k}{6}+i\sin \frac{5\pi+2\pi k}{6}\right),\quad k=0,1.$$

   Получаем:

   $$\alpha_0=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right),$$

   $$\alpha_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right).$$

На комплексной плоскости этим корням соответствуют точки с координатами, равными действительной и мнимой частям найденных чисел.

Ответ

а) $$1,\,-1$$;
б) $$i,\,-i$$;
в) $$\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$$;
г) $$-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\ \sqrt{2}-\sqrt{2}i$$;
д) $$2^{1/4}\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right),\ 2^{1/4}\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right)$$;
е) $$2^{1/4}\left(\cos \frac{7\pi}{8}+i\sin \frac{7\pi}{8}\right),\ 2^{1/4}\left(\cos \frac{15\pi}{8}+i\sin \frac{15\pi}{8}\right)$$;
ж) $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right),\ \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)$$;
з) $$\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right),\ \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)$$.