Упр.17.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 17.22 Сколько существует различных корней степени n (n > = 2) из комплексного числа z = r(cos фи + isin фи) (z =/0)? Напишите формулу для вычисления этих корней. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 17-22 118

Комплексное число $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), \quad z\ne 0$$ имеет $$n$$-е корни вида

$$ \alpha_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \quad k\in \mathbb{Z}. $$

При этом различные корни получаются при $$k=0,1,2,\dots,n-1$$, поэтому всего существует $$n$$ различных корней степени $$n$$.

Ответ

Различных корней степени $$n$$ существует $$n$$. Формула корней:

$$ \alpha_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \quad k=0,1,\dots,n-1. $$