Упр.17.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z * z = (4- i)2 + 65/(1-8i) Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство |z| = |z + 4|, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
а) Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда
$$z\overline z=x^2+y^2.$$
Вычислим правую часть:
$$ (2+i)^2+\frac{17}{1+4i} =4+4i+i^2+\frac{17(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)} =3+4i+\frac{17(1-4i)}{17} =3+4i+1-4i=4. $$
Значит, искомое множество точек задаётся уравнением
$$x^2+y^2=4,$$
то есть это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$2.$$
Теперь найдём точки этой окружности, для которых
$$|z|=|z-2i|.$$
Имеем
$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2+y^2=x^2+(y-2)^2,$$
откуда
$$y^2=(y-2)^2,$$
$$y^2=y^2-4y+4,$$
$$y=1.$$
Подставляем в уравнение окружности:
$$x^2+1=4,$$
$$x^2=3,$$
$$x=\pm\sqrt3.$$
Получаем точки:
$$z_1=\sqrt3+i,\qquad z_2=-\sqrt3+i.$$
Их тригонометрическая форма:
$$ z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right), \qquad z_2=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right). $$
б) Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда
$$z\overline z=x^2+y^2.$$
Вычислим правую часть:
$$ (4-i)^2+\frac{65}{1-8i} =16-8i+i^2+\frac{65(1+8i)}{(1-8i)(1+8i)} =15-8i+\frac{65(1+8i)}{65} =15-8i+1+8i=16. $$
Следовательно, множество точек задаётся уравнением
$$x^2+y^2=16,$$
то есть это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$4.$$
Теперь найдём точки, для которых
$$|z|=|z+4|.$$
Имеем
$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+4)^2+y^2}.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2+y^2=(x+4)^2+y^2,$$
откуда
$$x^2=(x+4)^2,$$
$$x^2=x^2+8x+16,$$
$$x=-2.$$
Подставляем в уравнение окружности:
$$4+y^2=16,$$
$$y^2=12,$$
$$y=\pm2\sqrt3.$$
Получаем точки:
$$z_1=-2-2\sqrt3\,i,\qquad z_2=-2+2\sqrt3\,i.$$
Их тригонометрическая форма:
$$ z_1=4\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right), \qquad z_2=4\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right). $$
Ответ
а) $$z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\quad z_2=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$
б) $$z_1=4\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right),\quad z_2=4\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).$$
