Упр.17.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) Пусть $$z$$ — комплексное число: $$|z|=2$$, $$\arg z=\frac{\pi}{3}$$. Найдите модуль и один из аргументов числа $$z^3-8i$$.
   б) Пусть $$z$$ — комплексное число: $$|z|=\frac{1}{2}$$, $$\arg z=\frac{\pi}{4}$$. Найдите модуль и один из аргументов числа $$32z^4+2\sqrt{3}\,i$$.

а) Запишем число $$z$$ в тригонометрической форме:

$$z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$z^3=2^3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-8.$$

Следовательно,

$$z^3-8i=-8-8i=-8(1+i).$$

Найдём модуль:

$$|z^3-8i|=\sqrt{(-8)^2+(-8)^2}=8\sqrt{2}.$$

Так как число $$-8-8i$$ лежит в третьей четверти, один из его аргументов равен

$$\arg(z^3-8i)=-\frac{3\pi}{4}.$$

б) Запишем число $$z$$ в тригонометрической форме:

$$z=\frac12\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$z^4=\left(\frac12\right)^4\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-\frac{1}{16}.$$

Следовательно,

$$33z^4+2\sqrt{3}\,i=33\left(-\frac{1}{16}\right)+2\sqrt{3}\,i=-\frac{33}{16}+2\sqrt{3}\,i.$$

Найдём модуль:

$$|33z^4+2\sqrt{3}\,i|=\sqrt{\left(-\frac{33}{16}\right)^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{1089}{256}+12}=\frac{\sqrt{4161}}{16}.$$

Так как действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, число лежит во второй четверти. Один из его аргументов:

$$\arg(33z^4+2\sqrt{3}\,i)=\pi-\arctan\frac{32\sqrt{3}}{33}.$$

Ответ

а) $$|z^3-8i|=8\sqrt{2},\quad \arg(z^3-8i)=-\frac{3\pi}{4}.$$

б) $$|33z^4+2\sqrt{3}\,i|=\frac{\sqrt{4161}}{16},\quad \arg(33z^4+2\sqrt{3}\,i)=\pi-\arctan\frac{32\sqrt{3}}{33}.$$