Упр.17.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
a) sin4x и cos4x; б) sin5x и cos5x; в) sin6x и cos6x.
Используем формулу Муавра:
$$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos nx+i\sin nx.$$
При $$n=4$$:
$$\left(\cos x+i\sin x\right)^4=\cos 4x+i\sin 4x.$$
Раскрывая скобки, получаем:
$$\cos 4x=\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x,$$
$$\sin 4x=4\cos^3 x\sin x-4\cos x\sin^3 x.$$
При $$n=5$$:
$$\left(\cos x+i\sin x\right)^5=\cos 5x+i\sin 5x.$$
Тогда
$$\sin 5x=\sin(4x+x)=\sin 4x\cos x+\cos 4x\sin x,$$
$$\cos 5x=\cos(4x+x)=\cos 4x\cos x-\sin 4x\sin x.$$
Подставляя найденные выражения для $$\sin 4x$$ и $$\cos 4x$$, получаем:
$$\sin 5x=\sin^5 x-10\sin^3 x\cos^2 x+5\sin x\cos^4 x,$$
$$\cos 5x=\cos^5 x-10\cos^3 x\sin^2 x+5\cos x\sin^4 x.$$
При $$n=6$$:
$$\left(\cos x+i\sin x\right)^6=\cos 6x+i\sin 6x.$$
Используем формулы для $$\sin 5x$$ и $$\cos 5x$$:
$$\sin 6x=\sin(5x+x)=\sin 5x\cos x+\cos 5x\sin x,$$
$$\cos 6x=\cos(5x+x)=\cos 5x\cos x-\sin 5x\sin x.$$
После подстановки и упрощения получаем:
$$\sin 6x=6\cos x\sin^5 x-20\cos^3 x\sin^3 x+6\sin x\cos^5 x,$$
$$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x\sin^2 x+15\cos^2 x\sin^4 x-\sin^6 x.$$
Ответ
$$\sin 4x=4\cos^3 x\sin x-4\cos x\sin^3 x,$$
$$\cos 4x=\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x,$$
$$\sin 5x=\sin^5 x-10\sin^3 x\cos^2 x+5\sin x\cos^4 x,$$
$$\cos 5x=\cos^5 x-10\cos^3 x\sin^2 x+5\cos x\sin^4 x,$$
$$\sin 6x=6\cos x\sin^5 x-20\cos^3 x\sin^3 x+6\sin x\cos^5 x,$$
$$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x\sin^2 x+15\cos^2 x\sin^4 x-\sin^6 x.$$
