Упр.17.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 17.19 Вычислите:

Представим знаменатель в тригонометрической форме:

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$ (\sqrt{3}+i)^4=2^4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right) =16\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right). $$

Числитель:

$$ 16i\left(\sin \frac{\pi}{3}-i\cos \frac{\pi}{3}\right)^2 =16i\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}\right)^2. $$

Возведём в квадрат:

$$ \left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}\right)^2 =\frac34-\frac{\sqrt3}{2}i-\frac14 =\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. $$

Тогда

$$ 16i\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right) =8i+8\sqrt3. $$

Теперь вычислим дробь:

$$ \frac{8\sqrt3+8i}{16\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)} =\frac{\sqrt3+i}{2\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)} =\frac{\sqrt3+i}{-1+\sqrt3\,i}. $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $-1-\sqrt3\,i$:

$$ \frac{\sqrt3+i}{-1+\sqrt3\,i}\cdot \frac{-1-\sqrt3\,i}{-1-\sqrt3\,i} = \frac{(\sqrt3+i)(-1-\sqrt3\,i)}{1+3}. $$

Числитель:

$$ (\sqrt3+i)(-1-\sqrt3\,i) =-\sqrt3-3i-i+\sqrt3 =-4i. $$

Следовательно,

$$ \frac{-4i}{4}=-i. $$

Ответ

$$-i$$