Упр.17.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) (1 + i корень 3)7 + (1 — i корень 3)7;
б) (корень 3+ i)7 + (корень 3-i)7.

Используем формулу Муавра: если $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ то

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

1. $$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right),$$

   $$1-i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$ (1+i\sqrt{3})^7+(1-i\sqrt{3})^7 =2^7\left(\cos \frac{7\pi}{3}+i\sin \frac{7\pi}{3}\right) +2^7\left(\cos \frac{35\pi}{3}+i\sin \frac{35\pi}{3}\right). $$

   С учётом периодичности тригонометрических функций:

   $$ \cos \frac{7\pi}{3}=\cos \frac{\pi}{3}, \quad \sin \frac{7\pi}{3}=\sin \frac{\pi}{3}, $$
   $$ \cos \frac{35\pi}{3}=\cos \frac{5\pi}{3}, \quad \sin \frac{35\pi}{3}=\sin \frac{5\pi}{3}. $$

   Тогда

   $$ (1+i\sqrt{3})^7+(1-i\sqrt{3})^7 =2^7\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right) +2^7\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right). $$

   Мнимые части сокращаются:

   $$ =2^7\cdot 2\cos \frac{\pi}{3} =128\cdot 2\cdot \frac12 =128. $$

2. $$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right),$$

   $$\sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$ (\sqrt{3}+i)^7+(\sqrt{3}-i)^7 =2^7\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right) +2^7\left(\cos \frac{77\pi}{6}+i\sin \frac{77\pi}{6}\right). $$

   Приведём углы:

   $$ \cos \frac{7\pi}{6}=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \frac{\pi}{6}, \quad \sin \frac{7\pi}{6}=-\sin \frac{\pi}{6}, $$
   $$ \cos \frac{77\pi}{6}=\cos \frac{5\pi}{6}, \quad \sin \frac{77\pi}{6}=\sin \frac{5\pi}{6}. $$

   Получаем

   $$ (\sqrt{3}+i)^7+(\sqrt{3}-i)^7 =2^7\left(\cos \frac{5\pi}{6}-i\sin \frac{5\pi}{6}\right) +2^7\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right). $$

   Тогда

   $$ =2^7\cdot 2\cos \frac{5\pi}{6} =128\cdot 2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =-128\sqrt{3}. $$

Ответ

а) $$128$$; б) $$-128\sqrt{3}$$.