Упр.17 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Сравните два числа: а) $$\frac{3\pi}{10}$$ и $$\arccos\frac{4}{5}$$; б) $$\frac{2\pi}{10}$$ и $$\arccos\frac{3}{10}$$.

а) Обозначим $$\alpha=\arccos \frac45.$$

Так как

$$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}<\frac45<\frac{\sqrt3}{2}=\cos \frac{\pi}{6},$$

то

$$\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{\pi}{4}.$$

Умножим неравенство на $$5$$:

$$\frac{5\pi}{6}<5\alpha<\frac{5\pi}{4}.$$

Найдём знак $$\sin 5\alpha$$:

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35,$$

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25},$$

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \frac35\cdot \frac45=\frac{24}{25}.$$

Тогда

$$\sin 5\alpha=\sin(2\alpha+3\alpha)$$

и, используя формулу для $$\sin 5\alpha$$, получаем, что

$$\sin 5\alpha<0.$$

Значит, угол $$5\alpha$$ лежит в третьей четверти, поэтому

$$\pi<5\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\alpha<\frac{3\pi}{10}.$$

Итак,

$$\arccos \frac45<\frac{3\pi}{10}.$$

б) Обозначим $$\alpha=\arccos \frac{3}{10}.$$

Так как

$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12>\frac{3}{10}>\cos \frac{\pi}{2}=0,$$

а функция $$y=\cos x$$ убывает на $$\left[0;\pi\right],$$

то

$$\frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}<\frac{\pi}{3}<\alpha,$$

значит,

$$\frac{2\pi}{10}<\arccos \frac{3}{10}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\pi}{10}>\arccos \frac45$$; б) $$\frac{2\pi}{10}<\arccos \frac{3}{10}.$$