Упр.17.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) |z1 + z2| < = |z1| + |z2|; б) |z1 - z2| < = |z1| + |z2|; в) ||z1| - |z2|| < = |z1 + z2|; г) ||z1| - |z2|| < = |z1 - z2|.

Используем формулу модуля комплексного числа и неравенство треугольника. Для любых комплексных чисел $$z_1$$ и $$z_2$$ верно:

$$|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})=|z_1|^2+|z_2|^2+2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})$$

Так как $$\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})\le |z_1||z_2|$$, то

$$|z_1+z_2|^2\le |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2=(|z_1|+|z_2|)^2,$$

следовательно,

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

Аналогично, заменяя $$z_2$$ на $$-z_2$$, получаем

$$|z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

Теперь докажем неравенства для разности модулей. Из уже доказанного неравенства:

$$|z_1|=|(z_1+z_2)-z_2|\le |z_1+z_2|+|z_2|,$$

откуда

$$|z_1|-|z_2|\le |z_1+z_2|.$$

Меняя местами $$z_1$$ и $$z_2$$, получаем

$$|z_2|-|z_1|\le |z_1+z_2|.$$

Значит,

$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\le |z_1+z_2|.$$

Аналогично, из

$$|z_1|=|(z_1-z_2)+z_2|\le |z_1-z_2|+|z_2|$$

получаем

$$|z_1|-|z_2|\le |z_1-z_2|,$$

а после замены $$z_1$$ и $$z_2$$ местами:

$$|z_2|-|z_1|\le |z_1-z_2|.$$

Следовательно,

$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\le |z_1-z_2|.$$

Ответ

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,\qquad |z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|,$$
$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\le |z_1+z_2|,\qquad \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\le |z_1-z_2|.$$