Упр.17.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) z=1;
б) z = -1;
в) z = i;
г) z = -i;
д) z = 1 + i;
е) z = 1 — i;
ж) z = — 1 + i;
з) z = -1 — i.

1. а) $$z=1$$

   Тогда при любом $$n=1,2,3,4,5$$

   $$z^n=1^n=1.$$

   Все точки совпадают с точкой $$ (1;0) $$.

2. б) $$z=-1$$

   $$ \begin{aligned} z^1&=-1,\\ z^2&=1,\\ z^3&=-1,\\ z^4&=1,\\ z^5&=-1. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(-1;0),\ (1;0),\ (-1;0),\ (1;0),\ (-1;0).$$

3. в) $$z=i$$

   $$ \begin{aligned} z^1&=i,\\ z^2&=-1,\\ z^3&=-i,\\ z^4&=1,\\ z^5&=i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(0;1),\ (-1;0),\ (0;-1),\ (1;0),\ (0;1).$$

4. г) $$z=-i$$

   $$ \begin{aligned} z^1&=-i,\\ z^2&=-1,\\ z^3&=i,\\ z^4&=1,\\ z^5&=-i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(0;-1),\ (-1;0),\ (0;1),\ (1;0),\ (0;-1).$$

5. д) $$z=1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$

   Тогда

   $$ \begin{aligned} z^1&=1+i,\\ z^2&=(1+i)^2=2i,\\ z^3&=(1+i)^3=-2+2i,\\ z^4&=(1+i)^4=-4,\\ z^5&=(1+i)^5=-4-4i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(1;1),\ (0;2),\ (-2;2),\ (-4;0),\ (-4;-4).$$

6. е) $$z=1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$$

   Тогда

   $$ \begin{aligned} z^1&=1-i,\\ z^2&=(1-i)^2=-2i,\\ z^3&=(1-i)^3=-2-2i,\\ z^4&=(1-i)^4=-4,\\ z^5&=(1-i)^5=-4+4i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(1;-1),\ (0;-2),\ (-2;-2),\ (-4;0),\ (-4;4).$$

7. ж) $$z=-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$$

   Тогда

   $$ \begin{aligned} z^1&=-1+i,\\ z^2&=(-1+i)^2=-2i,\\ z^3&=(-1+i)^3=2+2i,\\ z^4&=(-1+i)^4=-4,\\ z^5&=(-1+i)^5=4+4i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(-1;1),\ (0;-2),\ (2;2),\ (-4;0),\ (4;4).$$

8. з) $$z=-1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$$

   Тогда

   $$ \begin{aligned} z^1&=-1-i,\\ z^2&=(-1-i)^2=2i,\\ z^3&=(-1-i)^3=2-2i,\\ z^4&=(-1-i)^4=-4,\\ z^5&=(-1-i)^5=4-4i. \end{aligned} $$

   Соответствующие точки: $$(-1;-1),\ (0;2),\ (2;-2),\ (-4;0),\ (4;-4).$$

Ответ

а) $$1,1,1,1,1$$;
б) $$-1,1,-1,1,-1$$;
в) $$i,-1,-i,1,i$$;
г) $$-i,-1,i,1,-i$$;
д) $$1+i,2i,-2+2i,-4,-4-4i$$;
е) $$1-i,-2i,-2-2i,-4,-4+4i$$;
ж) $$-1+i,-2i,2+2i,-4,4+4i$$;
з) $$-1-i,2i,2-2i,-4,4-4i$$.