Упр.17.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 17.13 Возведите в степень 3 комплексное число:

1. Используем формулу Муавра:

   $$\left(r(\cos \varphi+i\sin \varphi)\right)^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

2. а)

   $$\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)^3=\cos 5\pi+i\sin 5\pi=-1.$$

3. б)

   $$ \left(2\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\right)\right)^3 =8\left(\cos \frac{15\pi}{4}+i\sin \frac{15\pi}{4}\right) $$
   $$ =8\left(\cos \left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right) =8\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right) =4\sqrt2(1-i). $$

4. в)

   $$\left(3\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)\right)^3=27(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=27.$$

5. г)

   $$ \left(4\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)\right)^3 =64\left(\cos \frac{7\pi}{2}+i\sin \frac{7\pi}{2}\right) =64\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right) =-64i. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$4\sqrt2(1-i)$$; в) $$27$$; г) $$-64i$$.