Упр.17.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) z= корень 3 — i;
в) z= — корень 3 + i;
г) z= -корень 3 — i;
д) z= 1 + корень 3 * i;
е) z= 1 — корень 3 * i.
$$z=\sqrt{3}+i$$
$$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$
$$z=\sqrt{3}-i$$
$$|z|=2$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=-\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{11\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right).$$
$$z=-\sqrt{3}+i$$
$$|z|=2$$
Так как
$$\cos\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{5\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$
$$z=-\sqrt{3}-i$$
$$|z|=2$$
Так как
$$\cos\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=-\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{7\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right).$$
$$z=1+\sqrt{3}\,i$$
$$|z|=2$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{1}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$
$$z=1-\sqrt{3}\,i$$
$$|z|=2$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{1}{2}, \qquad \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
то $$\varphi=\frac{5\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$$
Ответ
а) $$2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right), \ \varphi=\frac{\pi}{6}$$;
б) $$2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right), \ \varphi=\frac{11\pi}{6}$$;
в) $$2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right), \ \varphi=\frac{5\pi}{6}$$;
г) $$2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right), \ \varphi=\frac{7\pi}{6}$$;
д) $$2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right), \ \varphi=\frac{\pi}{3}$$;
е) $$2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right), \ \varphi=\frac{5\pi}{3}$$.
