Упр.169 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 169 (МГУ, филол. ф-т)

а) Преобразуем неравенство к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x^2+8x-9}-\frac{1}{3x^2-5x+2}\ge 0$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2+8x-9=(x+9)(x-1),$$

$$3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1).$$

Тогда

$$\frac{1}{(x+9)(x-1)}-\frac{1}{(3x-2)(x-1)}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3x-2-(x+9)}{(x+9)(x-1)(3x-2)}\ge 0,$$

$$\frac{2x-11}{(x+9)(x-1)(3x-2)}\ge 0.$$

Критические точки:

$$2x-11=0 \Rightarrow x=\frac{11}{2},$$

$$x=-9,\quad x=\frac{2}{3},\quad x=1.$$

Учитывая знаки на промежутках и то, что точки разрыва исключаются, получаем:

$$x\in(-\infty;-9)\cup\left(\frac{2}{3};1\right)\cup\left[\frac{11}{2};+\infty\right).$$

б) Преобразуем неравенство:

$$\frac{1}{3x^2+11x+10}-\frac{1}{2-x-x^2}\ge 0.$$

Разложим знаменатели:

$$3x^2+11x+10=(3x+5)(x+2),$$

$$2-x-x^2=-(x+2)(x-1).$$

Тогда

$$\frac{1}{(3x+5)(x+2)}-\frac{1}{-(x+2)(x-1)}\ge 0,$$

то есть

$$\frac{1}{(x+2)(3x+5)}+\frac{1}{(x+2)(x-1)}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-1+3x+5}{(x+2)(x-1)(3x+5)}\ge 0,$$

$$\frac{4x+4}{(x+2)(x-1)(3x+5)}\ge 0,$$

$$\frac{x+1}{(x+2)(x-1)(3x+5)}\ge 0.$$

Критические точки:

$$x=-2,\quad x=-\frac{5}{3},\quad x=-1,\quad x=1.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-\infty;-2)\cup\left(-\frac{5}{3};-1\right]\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-9)\cup\left(\frac{2}{3};1\right)\cup\left[\frac{11}{2};+\infty\right)$$

б) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(-\frac{5}{3};-1\right]\cup(1;+\infty)$$