Упр.166 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 166

Подробный ответ

а)
$$\frac{5}{2-x}>1+\frac{3}{x+2}$$
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{5}{2-x}-1-\frac{3}{x+2}>0$$
$$\frac{5(x+2)-(2-x)(x+2)-3(2-x)}{(2-x)(x+2)}>0$$
$$\frac{x^2+8x}{4-x^2}>0$$
Получаем критические точки:
$$x^2+8x=x(x+8)=0 \Rightarrow x=-8,\; x=0$$
$$4-x^2=0 \Rightarrow x=-2,\; x=2$$
По методу интервалов:
$$x\in(-8;-2)\cup(0;2)$$
б)
$$\frac{5}{x+4}<1+\frac{1}{4-x}$$
Перенесём всё в левую часть:
$$\frac{5}{x+4}-1-\frac{1}{4-x}<0$$ $$\frac{5(4-x)-(x+4)(4-x)-(x+4)}{(x+4)(4-x)}<0$$ $$\frac{x^2-6x}{16-x^2}<0$$
Критические точки:
$$x^2-6x=x(x-6)=0 \Rightarrow x=0,\; x=6$$
$$16-x^2=0 \Rightarrow x=-4,\; x=4$$
По методу интервалов:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(0;4)\cup(6;+\infty)$$
в)
$$\frac{2}{3-x}>1-\frac{3}{x+2}$$
Перенесём всё в левую часть:
$$\frac{2}{3-x}-1+\frac{3}{x+2}>0$$
$$\frac{2(x+2)-(3-x)(x+2)+3(3-x)}{(3-x)(x+2)}>0$$
$$\frac{x^2-2x+7}{(3-x)(x+2)}>0$$
Числитель всегда положителен, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot7=-24<0$$ и старший коэффициент положителен. Значит, нужно чтобы $$(3-x)(x+2)>0$$
Отсюда
$$x\in(-2;3)$$
г)
$$\frac{7}{x+5}<1+\frac{2}{5-x}$$
Перенесём всё в левую часть:
$$\frac{7}{x+5}-1-\frac{2}{5-x}<0$$ $$\frac{7(5-x)-(x+5)(5-x)-2(x+5)}{(x+5)(5-x)}<0$$ $$\frac{x^2-9x}{25-x^2}<0$$
Критические точки:
$$x^2-9x=x(x-9)=0 \Rightarrow x=0,\; x=9$$
$$25-x^2=0 \Rightarrow x=-5,\; x=5$$
По методу интервалов:
$$x\in(-\infty;-5)\cup(0;5)\cup(9;+\infty)$$