Упр.165 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 165

Подробный ответ

$$\frac{3}{x-2}\ge x$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{3}{x-2}-x\ge 0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3-x(x-2)}{x-2}\ge 0$$
$$\frac{-x^2+2x+3}{x-2}\ge 0$$
$$\frac{x^2-2x-3}{x-2}\le 0$$
Разложим числитель на множители:
$$\frac{(x+1)(x-3)}{x-2}\le 0$$
Критические точки: $$x=-1,\;2,\;3$$. По методу интервалов получаем:
$$(-\infty;-1]\cup(2;3]$$
$$x\ge \frac{2}{x-1}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x-\frac{2}{x-1}\ge 0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-1)-2}{x-1}\ge 0$$
$$\frac{x^2-x-2}{x-1}\ge 0$$
$$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}\ge 0$$
Критические точки: $$x=-1,\;1,\;2$$. По методу интервалов:
$$[-1;1)\cup[2;+\infty)$$
$$\frac{x^2-1}{x+5}<1$$
Перенесём 1 в левую часть:
$$\frac{x^2-1}{x+5}-1<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2-1-(x+5)}{x+5}<0$$
$$\frac{x^2-x-6}{x+5}<0$$
$$\frac{(x-3)(x+2)}{x+5}<0$$
Критические точки: $$x=-5,\;-2,\;3$$. По методу интервалов:
$$(-\infty;-5)\cup(-2;3)$$
$$\frac{2x-1}{x-3}
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{2x-1}{x-3}-(x+3)<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2x-1-(x+3)(x-3)}{x-3}<0$$
$$\frac{2x-1-(x^2-9)}{x-3}<0$$
$$\frac{-x^2+2x+8}{x-3}<0$$
$$\frac{x^2-2x-8}{x-3}>0$$
$$\frac{(x-4)(x+2)}{x-3}>0$$
Критические точки: $$x=-2,\;3,\;4$$. По методу интервалов:
$$(-2;3)\cup(4;+\infty)$$