Упр.165 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{3}{x-2}\ge x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{3}{x-2}-x\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3-x(x-2)}{x-2}\ge 0$$

   $$\frac{-x^2+2x+3}{x-2}\ge 0$$

   $$\frac{x^2-2x-3}{x-2}\le 0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$\frac{(x+1)(x-3)}{x-2}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1,\;2,\;3$$. По методу интервалов получаем:

   $$(-\infty;-1]\cup(2;3]$$

2. $$x\ge \frac{2}{x-1}$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x-\frac{2}{x-1}\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x-1)-2}{x-1}\ge 0$$

   $$\frac{x^2-x-2}{x-1}\ge 0$$

   $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-1,\;1,\;2$$. По методу интервалов:

   $$[-1;1)\cup[2;+\infty)$$

3. $$\frac{x^2-1}{x+5}<1$$

   Перенесём 1 в левую часть:

   $$\frac{x^2-1}{x+5}-1<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x^2-1-(x+5)}{x+5}<0$$

   $$\frac{x^2-x-6}{x+5}<0$$

   $$\frac{(x-3)(x+2)}{x+5}<0$$

   Критические точки: $$x=-5,\;-2,\;3$$. По методу интервалов:

   $$(-\infty;-5)\cup(-2;3)$$

4. $$\frac{2x-1}{x-3}

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{2x-1}{x-3}-(x+3)<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2x-1-(x+3)(x-3)}{x-3}<0$$

   $$\frac{2x-1-(x^2-9)}{x-3}<0$$

   $$\frac{-x^2+2x+8}{x-3}<0$$

   $$\frac{x^2-2x-8}{x-3}>0$$

   $$\frac{(x-4)(x+2)}{x-3}>0$$

   Критические точки: $$x=-2,\;3,\;4$$. По методу интервалов:

   $$(-2;3)\cup(4;+\infty)$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1]\cup(2;3]$$

б) $$[-1;1)\cup[2;+\infty)$$

в) $$(-\infty;-5)\cup(-2;3)$$

г) $$(-2;3)\cup(4;+\infty)$$