Упр.164 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 164

1. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{x^2-5x+6}{x^2+5x+6}<0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x+3)}<0$$

   Область определения: $$x\neq -2,\; x\neq -3.$$

   Критические точки: $$-3,\,-2,\,2,\,3.$$

   Исследуем знаки на промежутках. Получаем, что выражение отрицательно на интервалах $$(-3;-2)$$ и $$ (2;3).$$

2. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{x^2-6x+18}{-x^2+8x-12}<0$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$-x^2+8x-12=-(x^2-8x+12)=-(x-2)(x-6).$$

   Тогда

   $$\frac{x^2-6x+18}{-(x-2)(x-6)}<0.$$

   Числитель $$x^2-6x+18$$ всегда положителен, так как

   $$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 18=36-72=-36<0.$$

   Значит, знак дроби определяется знаменателем. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:

   $$-(x-2)(x-6)>0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2)(x-6)<0.$$

   Отсюда

   $$x\in(2;6).$$

Ответ

а) $$(-3;-2)\cup(2;3)$$

б) $$ (2;6) $$