Упр.163 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(3-x)(2x+1)}>0.$$

Найдём область допустимых значений:

$$x+4\ne 0,\quad 3-x\ne 0,\quad 2x+1\ne 0,$$

откуда

$$x\ne -4,\quad x\ne 3,\quad x\ne -\frac12.$$

Нули числителя:

$$x=-1,\quad x=-2,\quad x=-3.$$

Расположим все критические точки на числовой прямой:

$$-4,\ -3,\ -2,\ -1,\ -\frac12,\ 3.$$

Исследуем знаки множителей на промежутках. Получаем чередование знаков дроби:

$$(-\infty,-4)\;-\,,\quad (-4,-3)\;+\,,\quad (-3,-2)\;-\,,\quad (-2,-1)\;+\,,\quad (-1,-\tfrac12)\;-\,,\quad (-\tfrac12,3)\;+\,,\quad (3,+\infty)\;-.$$

Так как требуется, чтобы дробь была положительной, берём промежутки со знаком «+».

Ответ

$$(-4,-3)\cup(-2,-1)\cup\left(-\frac12,3\right).$$