Упр.16.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Пусть $$z=a+bi.$$ Тогда
$$z(-3+2i)=5-55i$$
Раскроем скобки:
$$(a+bi)(-3+2i)=5-55i$$
$$-3a+2ai-3bi+2bi^2=5-55i$$
Так как $$i^2=-1,$$ получаем
$$(-3a-2b)+(2a-3b)i=5-55i$$
Приравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} -3a-2b=5,\\ 2a-3b=-55. \end{cases}$$
Решим систему. Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:
$$\begin{cases} -9a-6b=15,\\ 4a-6b=-110. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$-13a=125,$$
$$a=-\frac{125}{13}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-3\left(-\frac{125}{13}\right)-2b=5,$$
$$\frac{375}{13}-2b=\frac{65}{13},$$
$$-2b=-\frac{310}{13}, \qquad b=\frac{155}{13}.$$
Следовательно,
$$z=-\frac{125}{13}+\frac{155}{13}i.$$
Соответствующая точка комплексной плоскости:
$$\left(-\frac{125}{13};\frac{155}{13}\right).$$
б) Пусть $$z=a+bi.$$ Тогда
$$-7+1{,}5i=z(5+4i)$$
то есть
$$-7+1{,}5i=(a+bi)(5+4i).$$
Раскроем скобки:
$$(a+bi)(5+4i)=5a+4ai+5bi+4bi^2=(5a-4b)+(4a+5b)i.$$
Приравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} 5a-4b=-7,\\ 4a+5b=1{,}5. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5,$$ второе на $$4$$:
$$\begin{cases} 25a-20b=-35,\\ 16a+20b=6. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$41a=-29,$$
$$a=-\frac{29}{41}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5\left(-\frac{29}{41}\right)-4b=-7,$$
$$-\frac{145}{41}-4b=-\frac{287}{41},$$
$$-4b=-\frac{142}{41}, \qquad b=\frac{71}{82}.$$
Следовательно,
$$z=-\frac{29}{41}+\frac{71}{82}i.$$
Соответствующая точка комплексной плоскости:
$$\left(-\frac{29}{41};\frac{71}{82}\right).$$
Ответ
а) $$z=-\frac{125}{13}+\frac{155}{13}i,$$ точка $$\left(-\frac{125}{13};\frac{155}{13}\right).$$
б) $$z=-\frac{29}{41}+\frac{71}{82}i,$$ точка $$\left(-\frac{29}{41};\frac{71}{82}\right).$$
