Упр.16.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) -7 + 1,5i = 2(5 — 4i).

а) Пусть $$z=a+bi.$$ Тогда

$$z(-3+2i)=5-55i$$

Раскроем скобки:

$$ (a+bi)(-3+2i)=5-55i $$

$$ -3a+2ai-3bi+2bi^2=5-55i $$

Так как $$i^2=-1,$$ получаем

$$ (-3a-2b)+(2a-3b)i=5-55i $$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$ \begin{cases} -3a-2b=5,\\ 2a-3b=-55. \end{cases} $$

Решим систему. Умножим первое уравнение на $$3,$$ второе на $$2$$:

$$ \begin{cases} -9a-6b=15,\\ 4a-6b=-110. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-13a=125,$$

$$a=-\frac{125}{13}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$-3\left(-\frac{125}{13}\right)-2b=5,$$

$$\frac{375}{13}-2b=\frac{65}{13},$$

$$-2b=-\frac{310}{13}, \qquad b=\frac{155}{13}.$$

Следовательно,

$$z=-\frac{125}{13}+\frac{155}{13}i.$$

Соответствующая точка комплексной плоскости:

$$\left(-\frac{125}{13};\frac{155}{13}\right).$$

б) Пусть $$z=a+bi.$$ Тогда

$$-7+1{,}5i=z(5+4i)$$

то есть

$$-7+1{,}5i=(a+bi)(5+4i).$$

Раскроем скобки:

$$ (a+bi)(5+4i)=5a+4ai+5bi+4bi^2=(5a-4b)+(4a+5b)i. $$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$ \begin{cases} 5a-4b=-7,\\ 4a+5b=1{,}5. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$5,$$ второе на $$4$$:

$$ \begin{cases} 25a-20b=-35,\\ 16a+20b=6. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$41a=-29,$$

$$a=-\frac{29}{41}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5\left(-\frac{29}{41}\right)-4b=-7,$$

$$-\frac{145}{41}-4b=-\frac{287}{41},$$

$$-4b=-\frac{142}{41}, \qquad b=\frac{71}{82}.$$

Следовательно,

$$z=-\frac{29}{41}+\frac{71}{82}i.$$

Соответствующая точка комплексной плоскости:

$$\left(-\frac{29}{41};\frac{71}{82}\right).$$

Ответ

а) $$z=-\frac{125}{13}+\frac{155}{13}i,$$ точка $$\left(-\frac{125}{13};\frac{155}{13}\right).$$

б) $$z=-\frac{29}{41}+\frac{71}{82}i,$$ точка $$\left(-\frac{29}{41};\frac{71}{82}\right).$$