Упр.16.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 16.50

1. Пусть $$z=x+yi$$.

   Тогда

   $$\frac{|z+1|}{|z-2|}\ge 0{,}5$$

   равносильно

   $$\frac{\sqrt{(x+1)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}\ge 0{,}5.$$

   Умножим на положительное число $$\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$ и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{(x+1)^2+y^2}\ge 0{,}5\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$

   $$ (x+1)^2+y^2\ge 0{,}25\bigl((x-2)^2+y^2\bigr).$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+2x+1+y^2\ge 0{,}25(x^2-4x+4+y^2)$$

   $$0{,}75x^2+0{,}75y^2+3x\ge 0$$

   $$x^2+y^2+4x\ge 0$$

   $$ (x+2)^2+y^2\ge 4.$$

   Это внешняя часть круга с центром в точке $$(-2;0)$$ и радиусом $$2$$, включая границу.

2. Пусть $$z=x+yi$$.

   Тогда

   $$\frac{|z+2i|}{|z-i|}\ge 2$$

   равносильно

   $$\frac{\sqrt{x^2+(y+2)^2}}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\ge 2.$$

   Умножим на положительное число $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}$$ и возведём в квадрат:

   $$x^2+(y+2)^2\ge 4\bigl(x^2+(y-1)^2\bigr).$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+y^2+4y+4\ge 4x^2+4y^2-8y+4$$

   $$3x^2+3y^2-12y\le 0$$

   $$x^2+y^2-4y\le 0$$

   $$x^2+(y-2)^2\le 4.$$

   Это круг с центром в точке $$\left(0;2\right)$$ и радиусом $$2$$, включая границу.

Ответ

а) $$ (x+2)^2+y^2\ge 4 $$ — внешняя часть круга с центром $$(-2;0)$$ и радиусом $$2$$.

б) $$ x^2+(y-2)^2\le 4 $$ — круг с центром $$\left(0;2\right)$$ и радиусом $$2$$.