Упр.16.49 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$|z-4|=|z+4i|$$; б) $$|z+2|=|z+2i|$$.

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда

$$|z-4|=|z+4i| \iff \sqrt{(x-4)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y+4)^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-4)^2+y^2=x^2+(y+4)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-8x+16+y^2=x^2+y^2+8y+16.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$-8x=8y,$$

$$y=-x.$$

Значит, искомое множество точек — прямая $$y=-x.$$

Аналогично для пункта б):

$$|z+2|=|z+2i| \iff \sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y+2)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$(x+2)^2+y^2=x^2+(y+2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4+y^2=x^2+y^2+4y+4.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$4x=4y,$$

$$y=x.$$

Следовательно, искомое множество точек — прямая $$y=x.$$

Ответ

а) $$y=-x$$; б) $$y=x$$.